Um mol de um gás ideal diatômico parte de
. Depois o gás é aquecido isocoricamente até
e depois se expande adiabaticamente até a pressão ser novamente igual a 1 atm . Depois é resfriado isobaricamente até atingir o estado inicial.
Calcule o rendimento desta máquina.
Calcule o rendimento desta máquina.
Passo 1
O enunciado dá um ciclo termodinâmico para
mol de um gás ideal diatômico, com os seguintes passos e dados iniciais:
- Estado inicial:
e . - Primeiro trecho: aquecimento isocórico até
. Denotamos esse estado por . - Segundo trecho: expansão adiabática de
até que a pressão volte a . Denotamos o estado final da adiabática por e sabemos . - Terceiro trecho: resfriamento isobárico (à pressão
) de de volta ao estado .
O que a questão pede: calcular o rendimento (eficiência) da máquina térmica que executa esse ciclo, isto é,
.
Informações relevantes fornecidas ou implicadas:
-
mol. - Gás diatômico clássico:
e , portanto . - Processo isocórico:
. - Processo adiabático:
e valem as relações adiabáticas. - Processo isobárico:
(será negativo, pois é resfriamento).
Passo 2
Estratégia e definições importantes (sem começar a calcular ainda):
- Rendimento da máquina:
- Aqui o único trecho que fornece calor ao sistema é o aquecimento isocórico (
), pois a adiabática não troca calor e o isobárico é resfriamento (retira calor). Logo
- Trabalho total em todo o ciclo
. Mas (isochórico). Para a adiabática e a isobárica usaremos as fórmulas abaixo; também é útil usar a primeira lei para a adiabática e expressar tudo em termos de temperaturas, o que simplifica muito os cálculos.
Passo 3
Relações adiabáticas e obtenção de
em função de
e
.
Para o adiabático vale
const. Como o estado
tem
(isochoricou de
para
), e o estado
tem
, escrevemos
Usando a equação dos gases ideais
, temos
. Substituindo em cima e isolando
:
Agora usamos a lei dos gases em
para relacionar
e
:
Portanto:
Passo 4
Calculando numericamente
,
(com os valores dados).
Já sabemos
e
. Com
,
Calculemos a razão
.
Agora a potência . Avaliando numericamente (logaritmo/exponencial ou calculadora):
Agora a potência
Portanto
(Em graus Celsius
.)
Passo 5
Cálculo dos calores e trabalhos em cada trecho (fórmulas e números).
Constantes:
mol e
.
Capacidades molares: e
.
Capacidades molares:
- Aquecimento isocórico
:
Numérico:
- Adiabática
: . Trabalho realizado pela expansão (pela primeira lei , com dá ):
- Isobárico
: trabalho à pressão constante
(Trabalho negativo, ou seja, trabalho feito sobre o gás na compressão isobárica.)
Calor na isobárica (saída de calor):
Passo 6
Trabalho líquido do ciclo e verificação por balanço de energia.
Trabalho líquido:
Verificação via calores (primeira lei sobre o ciclo:
):
diferença pequena devido a arredondamentos; os valores concordam na ordem de
.
Passo 7
Fórmula simplificada do rendimento e cálculo final com substituição.
Derivando uma expressão útil: usando
e as expressões de calores, obtém-se
Substituímos os números:
,
,
,
.
Convertendo para porcentagem:
.