Um mol de gás ideal monoatômico ( \mathrm{C}_{\mathrm{vm}}=3 / 2 \mathrm{R} ), realiza um ciclo reversível indicado na primeira tabela abaixo. Faça o diagrama p -V para o ciclo e preencha os espaços vazios da segunda tabela.
Etapa P/atm V/ litro T/o'K
1 2 20 400
2 2 40 800
3 1 40 400
Etapa Natureza do processo Q/J W/J \Delta \mathrm{U} / \mathrm{J} \Delta \mathrm{H} / \mathrm{J}
1 \rightarrow 2 ------ ------ ------ ------ ------
2 \rightarrow 3 ------ ------ ------ ------ ------
3 \rightarrow 1 ------ ------ ------ ------ ------
Total do ciclo ------ ------ ------ ------

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Fazer o diagrama \;p\!-\!V\; do ciclo que passa pelos três estados da primeira tabela.
  • Preencher a segunda tabela com a natureza de cada etapa e os valores de Q, W, \Delta U e \Delta H (em joules) para cada etapa e para o total do ciclo.
Dados fornecidos (peguei todos os números da tabela do enunciado):
  • Número de mols: \;n=1\; mol.
  • Capacidade térmica molar a volume constante: \;C_{V,m}=\tfrac{3}{2}R.
  • Estados:
    • Estado 1: \;P_1=2\\ \text{atm},\;V_1=20\\ \text{L},\;T_1=400\\ \text{K}.
    • Estado 2: \;P_2=2\\ \text{atm},\;V_2=40\\ \text{L},\;T_2=800\\ \text{K}.
    • Estado 3: \;P_3=1\\ \text{atm},\;V_3=40\\ \text{L},\;T_3=400\\ \text{K}.
O que devemos entregar: para cada etapa 1\to2,\;2\to3,\;3\to1 indicar (i) natureza do processo e (ii) valores numéricos de Q, W, \Delta U, \Delta H; e também os totais do ciclo.

Passo 2

Identificação da natureza de cada processo (usando os dados acima):
  • De 1\to2: \;P é constante ( P_1=P_2=2\\ \text{atm}) e V muda \Rightarrow processo isobárico.
  • De 2\to3: \;V é constante ( V_2=V_3=40\\ \text{L}) e P muda \Rightarrow processo isocórico (ou isométrico).
  • De 3\to1: \;T é constante ( T_3=T_1=400\\ \text{K}) e P e V mudam \Rightarrow processo isotérmico.
Vou agora calcular quantitativamente W, \Delta U, \Delta H e Q em cada etapa.

Passo 3

Fórmulas e constantes que vamos usar (aulas rápidas e aplicadas):
  • Primeira lei da termodinâmica para um processo qualquer:
Q=\Delta U+W,
onde Q é calor recebido pelo sistema, W é trabalho realizado pelo sistema (sinal positivo quando o sistema faz trabalho sobre o entorno) e \Delta U é a variação da energia interna.
  • Para um gás ideal monoatômico:
C_{V,m}=\tfrac{3}{2}R,\qquad C_{P,m}=C_{V,m}+R=\tfrac{5}{2}R.
Aqui R é a constante universal dos gases em unidades SI: \;R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
  • Variação de energia interna e entalpia para n mols:
\Delta U=n C_{V,m}\Delta T,\qquad \Delta H=n C_{P,m}\Delta T.
Essas fórmulas vêm do fato de que para gás ideal \;U=U(T) e H=H(T).
  • Trabalho em processos específicos:
    • Isobárico ( P= constante): \;W=P\Delta V.
    • Isocórico: \;W=0.
    • Isotérmico reversível de gás ideal: \;W=nRT\ln\!\Big(\dfrac{V_{\text{final}}}{V_{\text{inicial}}}\Big).
  • Conversões de unidades (importante para obter J):
    • \;1\\ \text{L}=1\times10^{-3}\\ \text{m}^3.
    • \;1\\ \text{atm}=101325\\ \text{Pa}.
    • (Assim \;1\\ \text{L}\cdot\text{atm}=101{,}325\\ \text{J}.)
Valores numéricos úteis (aplicados aqui com n=1):
C_{V,m}=\tfrac{3}{2}R=1{,}5\times 8{,}314=12{,}471\\ \mathrm{J\,K^{-1}},
C_{P,m}=\tfrac{5}{2}R=2{,}5\times 8{,}314=20{,}785\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.

Passo 4

Cálculos para a etapa 1\to2 (isobárico):
  • Dados usados (peguei da tabela): \;P=2\\ \text{atm},\;V_1=20\\ \text{L},\;V_2=40\\ \text{L},\;T_1=400\\ \text{K},\;T_2=800\\ \text{K}.
  • Conversão de pressão e volume para SI:
P=2\times101325=202650\\ \mathrm{Pa},\qquad \Delta V=V_2-V_1=(40-20)\\ \text{L}=20\times10^{-3}=0{,}020\\ \mathrm{m^3}.
  • Trabalho realizado pelo gás:
W_{1\to2}=P\Delta V=202650\times0{,}020=4053{,}0\\ \mathrm{J}.
  • Variação de energia interna:
\Delta T=T_2-T_1=800-400=400\\ \mathrm{K},
\Delta U_{1\to2}=nC_{V,m}\Delta T=1\times12{,}471\times400=4988{,}4\\ \mathrm{J}.
  • Variação de entalpia:
\Delta H_{1\to2}=nC_{P,m}\Delta T=1\times20{,}785\times400=8314{,}0\\ \mathrm{J}.
  • Calor trocado:
Q_{1\to2}=\Delta U_{1\to2}+W_{1\to2}=4988{,}4+4053{,}0=9041{,}4\\ \mathrm{J}.
Resumo 1\to2:
  • Natureza: isobárico.
  • W_{1\to2}=4053{,}0\\ \mathrm{J}.
  • \Delta U_{1\to2}=4988{,}4\\ \mathrm{J}.
  • \Delta H_{1\to2}=8314{,}0\\ \mathrm{J}.
  • Q_{1\to2}=9041{,}4\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Cálculos para a etapa 2\to3 (isocórico):
  • Dados: \;V constante ( V_2=V_3=40\\ \text{L}), T_2=800\\ \text{K}, T_3=400\\ \text{K}.
  • Trabalho:
W_{2\to3}=0\quad(\text{isocórico}).ó
  • Variação de temperatura:
\Delta T=T_3-T_2=400-800=-400\\ \mathrm{K}.
  • Variação de energia interna:
\Delta U_{2\to3}=nC_{V,m}\Delta T=1\times12{,}471\times(-400)=-4988{,}4\\ \mathrm{J}.
  • Variação de entalpia:
\Delta H_{2\to3}=nC_{P,m}\Delta T=1\times20{,}785\times(-400)=-8314{,}0\\ \mathrm{J}.
  • Calor:
Q_{2\to3}=\Delta U_{2\to3}+W_{2\to3}=-4988{,}4+0=-4988{,}4\\ \mathrm{J}.
Resumo 2\to3:
  • Natureza: isocórico.
  • W_{2\to3}=0\\ \mathrm{J}.
  • \Delta U_{2\to3}=-4988{,}4\\ \mathrm{J}.
  • \Delta H_{2\to3}=-8314{,}0\\ \mathrm{J}.
  • Q_{2\to3}=-4988{,}4\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Cálculos para a etapa 3\to1 (isotérmico a T=400\\ \mathrm{K}):
  • Dados (peguei da tabela): \;T=400\\ \text{K},\;V_3=40\\ \text{L},\;V_1=20\\ \text{L}.
  • Para processo isotérmico de gás ideal:
\Delta U_{3\to1}=0,\qquad \Delta H_{3\to1}=0.
  • Trabalho (work done by the gas):
W_{3\to1}=nRT\ln\!\Big(\dfrac{V_1}{V_3}\Big).
Substituindo:
n=1,\quad R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}},\quad T=400\\ \mathrm{K},
W_{3\to1}=1\times8{,}314\times400\times\ln\!\Big(\dfrac{20}{40}\Big)=3325{,}6\times\ln\!\big(0{,}5\big).
Como \;\ln(0{,}5)=-\ln 2\approx-0{,}693147,
W_{3\to1}=3325{,}6\times(-0{,}693147)=-2306{,}1\\ \mathrm{J}\\ (\text{aprox.}).
  • Calor:
Q_{3\to1}=\Delta U_{3\to1}+W_{3\to1}=0+(-2306{,}1)=-2306{,}1\\ \mathrm{J}.
Resumo 3\to1:
  • Natureza: isotérmico (reversível).
  • W_{3\to1}=-2306{,}1\\ \mathrm{J}.
  • \Delta U_{3\to1}=0\\ \mathrm{J}.
  • \Delta H_{3\to1}=0\\ \mathrm{J}.
  • Q_{3\to1}=-2306{,}1\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Totais do ciclo (somando as três etapas):
  • Soma das variações de energia interna:
\Delta U_{\text{total}}=4988{,}4+(-4988{,}4)+0=0\\ \mathrm{J},
como esperado para um ciclo fechado.
  • Soma das variações de entalpia:
\Delta H_{\text{total}}=8314{,}0+(-8314{,}0)+0=0\\ \mathrm{J}.
  • Soma do trabalho:
W_{\text{total}}=4053{,}0+0+(-2306{,}1)=1746{,}9\\ \mathrm{J}.
  • Soma do calor:
Q_{\text{total}}=9041{,}4+(-4988{,}4)+(-2306{,}1)=1746{,}9\\ \mathrm{J}.
(Confirmação: Q_{\text{total}}=\Delta U_{\text{total}}+W_{\text{total}}=0+1746{,}9.)
Comentário rápido e motivador: deu certinho — a energia interna voltou ao valor inicial ( \Delta U_{\text{total}}=0) e o trabalho líquido extraído pelo ciclo é 1746{,}9\\ \mathrm{J}; esse trabalho é igual ao calor líquido recebido durante o ciclo.

Resposta

1\to2: isobárico; Q=9041{,}4\\ \mathrm{J}; W=4053{,}0\\ \mathrm{J}; \Delta U=4988{,}4\\ \mathrm{J}; \Delta H=8314{,}0\\ \mathrm{J}
2\to3: isocórico; Q=-4988{,}4\\ \mathrm{J}; W=0\\ \mathrm{J}; \Delta U=-4988{,}4\\ \mathrm{J}; \Delta H=-8314{,}0\\ \mathrm{J}
3\to1: isotérmico; Q=-2306{,}1\\ \mathrm{J}; W=-2306{,}1\\ \mathrm{J}; \Delta U=0\\ \mathrm{J}; \Delta H=0\\ \mathrm{J}
Total do ciclo: Q_{\text{total}}=1746{,}9\\ \mathrm{J}; W_{\text{total}}=1746{,}9\\ \mathrm{J}; \Delta U_{\text{total}}=0\\ \mathrm{J}; \Delta H_{\text{total}}=0\\ \mathrm{J}

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