a) Um mol de gás ideal monoatômico é comprimido adiabaticamente em um único estágio, aplicando-se uma pressão constante de 10 atm , até atingir um estado de equilíbrio.
Considerando
e
, calcule
e
.
b) Se o gás, agora comprimido, for deixado expandir contra uma pressão externa de 1 atm , ainda adiabaticamente, quais serão os novos valores de
, w’,
e
? Serão iguais?
Justifique.
c) A transformação foi cíclica? Justifique.
b) Se o gás, agora comprimido, for deixado expandir contra uma pressão externa de 1 atm , ainda adiabaticamente, quais serão os novos valores de
c) A transformação foi cíclica? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá um mol de gás ideal monoatômico que passa por duas etapas adiabáticas irreversíveis (compressão e depois expansão), e pede vários grandezas térmicas em cada etapa.
Dados fornecidos (peguei esses números do enunciado):
-
. - Estado inicial (1):
e . - Na compressão adiabática, aplica-se uma pressão externa constante
até o gás atingir equilíbrio (logo ). - Depois, a partir do estado comprimido, o gás é deixado expandir adiabaticamente contra pressão externa de
(logo o novo equilíbrio terá ).
O enunciado pede:
a) Para a compressão: calcular .
b) Para a expansão a seguir: calcular e responder se esses valores serão iguais aos do item (a) (justificar).
c) Dizer se a transformação total foi cíclica (justificar).
a) Para a compressão: calcular
b) Para a expansão a seguir: calcular
c) Dizer se a transformação total foi cíclica (justificar).
Passo 2
Relembre as fórmulas e convenções que vou usar (explicando cada símbolo):
- Convenção de sinais: vou usar a convenção química onde
é o calor recebido pelo sistema e é o trabalho recebido pelo sistema (ou seja, trabalho sobre o gás). Com essa convenção a Primeira Lei fica
- Trabalho contra uma pressão externa constante: se a pressão externa é
e o volume varia de para ,
Porque se
(compressão) então
e
: trabalho é feito sobre o sistema.
- Para um gás ideal monoatômico (gás ideal sem modos vibracionais excitados):
Aqui
é a constante dos gases ideais. Numericamente usarei
.
- Energia interna e entalpia de gás ideal dependem só da temperatura:
- Lei dos gases ideais (para cada estado):
. - Como os processos são adiabáticos, temos
em cada etapa (isso simplifica muito a Primeira Lei).
Vou trabalhar em unidades SI (Pa, m^3, J, K). Lembre:
.
Passo 3
Desenvolvimento geral para a primeira etapa (compressão irreversível contra pressão externa constante
).
- Estado inicial (1):
, . - Estado final (2): ao atingir equilíbrio com a pressão aplicada,
. A temperatura final é desconhecida; o volume final satisfaz .
Escrevo a Primeira Lei para a etapa 1→2, lembrando que
:
E o trabalho (conforme convenção química) é
Coloco isso em igualdade com a expressão de
e cancelo
(aqui
mas vale de forma geral):
Rearranjo para isolar
. Agrupo os termos em
:
Logo a solução geral é
No nosso caso
(pois comprimimos até equilibrar com a pressão aplicada), portanto
. Substituindo:
Como
(10 atm sobre 1 atm), e
,
, fica muito simples em termos de
:
Como
,
Observe que o fator
cancelou; não precisei do valor numérico de
para obter
.
Passo 4
Cálculos numéricos completos para o item (a): volumes, trabalho, energias.
- Volumes usando
(em SI):
-
(ou ). -
(ou ).
- Trabalho na compressão (lembrando
é trabalho recebido pelo sistema):
Numericamente (
):
Interpretação do sinal:
porque
; trabalho foi feito sobre o gás (energia entrou por trabalho).
- Calor trocado: adiabático, portanto
- Variação da energia interna:
Como
,
o que coincide numericamente com
(esperado porque
).
- Variação da entalpia:
Como
,
Resumo numérico do item (a) já calculado:
-
. -
(trabalho recebido pelo sistema). -
. -
. -
.
Passo 5
Agora a etapa (b): expansão adiabática irreversível contra pressão externa
.
Parto do estado 2:
dado acima. A expansão é contra
, e o equilíbrio final terá
e temperatura
desconhecida. Reaplico a mesma equação geral (visto no Passo 3), mas agora
e a pressão inicial é
. A equação geral ficou:
Como
(o processo termina quando o gás equilibra com a pressão externa),
Aqui
. Com
e
,
Logo
Cálculos das demais grandezas da expansão:
-
Volume final
(ou ). -
Variação de energia interna:
- Trabalho da expansão (novamente
é trabalho recebido pelo sistema):
(Conferência:
pois
.)
- Variação de entalpia:
São iguais aos valores do item (a)? Não: numericamente
difere de
e também
e
têm sinais e magnitudes diferentes dos correspondentes da compressão. A razão física: os valores de trabalho (e, via
, das variações de energia) dependem da pressão externa com que o processo é feito — o processo é irreversível e o resultado depende do caminho (a pressão externa aplicada). Portanto compressão contra
não é “inverso” da expansão contra
; as duas etapas não se anulam.
Passo 6
Item (c): transformação total (compressão + expansão) foi cíclica?
-
Para ser cíclica, o sistema deveria voltar ao mesmo estado termodinâmico inicial: mesmo
. Aqui o processo termina com igual à pressão inicial, mas a temperatura final é diferente de . Portanto o estado final difere do inicial — não é ciclo. -
Verificação pela energia interna:
. Num ciclo a variação total de energia interna deveria ser zero. Logo não é cíclica.
Conclusão: não é transformação cíclica.
Resposta
(a)
(b)
Serão iguais? Não.
Serão iguais? Não.
(c) Foi cíclica? Não.