Um mol de um gás ideal monoatômico que se encontra inicialmente a pressão P0 e volume V0 sofre um ciclo termodinâmico tal que no início ocorre uma expansão isobárica, na qual o gás passa a ocupar um volume quatro vezes maior, em seguida uma redução da pressão a volume constante e a última etapa é uma compressão isotérmica, voltando o gás ao estado inicial. Calcule:
O calor recebido nesse ciclo.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um mol de um gás ideal monoatômico que passa por um ciclo termodinâmico com três etapas:
  1. Expansão isobárica: O gás expande com pressão constante, aumentando seu volume quatro vezes.
  2. Redução de pressão a volume constante: A pressão diminui, mas o volume permanece o mesmo.
  3. Compressão isotérmica: O gás é comprimido de volta ao estado inicial mantendo a temperatura constante.
Queremos calcular o calor recebido nesse ciclo. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como leis dos gases ideais, processos termodinâmicos (isobárico, isocórico e isotérmico), trabalho realizado pelo gás e a primeira lei da termodinâmica.

Passo 2

Vamos começar pela primeira etapa: a expansão isobárica.
  • Isobárico significa que a pressão ($ P $) permanece constante.
  • O volume aumenta quatro vezes, então $ V_1 = 4V_0 $.
  • Como $ PV = nRT $, podemos relacionar as temperaturas inicial e final dessa etapa.
A variação de temperatura ($ \Delta T $) pode ser encontrada usando:
P
Então, a temperatura aumenta de $ T_0 $ para $ 4T_0 $.

Passo 3

Agora, vamos calcular o calor ($ Q_1 $) absorvido nessa expansão isobárica.
Para um processo isobárico, o calor é dado por:
Q1
Onde:
  • $ C_p $ é a capacidade calorífica a pressão constante.
  • Para um gás monoatômico, $ C_p = \frac{5}{2}R $.
Então,
Q = nCp De

Passo 4

Passando para a segunda etapa: redução de pressão a volume constante.
  • Isocórico significa que o volume ($ V $) permanece constante.
  • A pressão diminui de $ P_0 $ para $ P_1 $.
Usando $ PV = nRT $, podemos encontrar a nova pressão $ P_1 $:
V
Hmm, parece que houve um erro aqui. Vamos reavaliar.
Na primeira etapa, a pressão permanece $ P_0 $ e o volume aumenta para $ V_1 = 4V_0 $, então a temperatura $ T_1 = 4T_0 $.
Na segunda etapa, a pressão diminui a partir de $ P_0 $ a volume constante $ V_1 = 4V_0 $.
Usando $ PV = nRT $:
P0
Isso indica que a pressão não mudou, o que não faz sentido com a descrição da segunda etapa. Provavelmente, houve uma confusão no enunciado ou na interpretação. Vamos reconsiderar.

Passo 5

Na verdade, ao revisar, percebemos que após a expansão isobárica, o gás tem:
  • Pressão: $ P_0 $
  • Volume: $ V_1 = 4V_0 $
  • Temperatura: $ T_1 = 4T_0 $
Na segunda etapa, ocorre uma redução de pressão a volume constante ($ V = 4V_0 $).
Vamos encontrar a nova temperatura $ T_2 $ após a redução de pressão para $ P_2 $:
Usando $ P_0V_1 = nRT_1 $ e $ P_2V_1 = nRT_2 $, podemos relacionar as duas etapas:
P0
Sabemos que o ciclo retorna ao estado inicial, então na terceira etapa (compressão isotérmica), o gás volta a $ P_0 $, $ V_0 $, e $ T_0 $. Portanto, $ T_2 = T_0 $.
Assim,
V1 = 4V0

Passo 6

Agora, vamos calcular o calor ($ Q_2 $) liberado na segunda etapa (redução de pressão a volume constante).
Para um processo isocórico, o calor é dado por:
Q2
Onde:
  • $ C_v $ é a capacidade calorífica a volume constante.
  • Para um gás monoatômico, $ C_v = \frac{3}{2}R $.
Então,
Q = nCv De
O sinal negativo indica que o calor está sendo liberado pelo sistema.

Passo 7

Finalmente, a terceira etapa: compressão isotérmica de volta ao estado inicial.
  • Isotérmico significa que a temperatura ($ T T T_0 $).
  • O estado final é $ P_0 $, $ V_0 $, $ T_0 $.
Vamos calcular o trabalho ($ W_3 $) realizado nessa compressão.
Para um processo isotérmico, o trabalho é:
T0
Neste caso, de $ V_f = 4V_0 $ para $ V_i = V_0 $:
P0
Como $ W = Q $ para processos isotérmicos (já que $ \Delta U = 0 $), temos:
V0
O sinal negativo indica que o trabalho está sendo feito sobre o gás, ou seja, o calor está sendo liberado.

Passo 8

Agora, vamos somar os calores de todas as etapas para encontrar o calor líquido recebido no ciclo:
Qtotal = Q1 + Q2 + Q3
Substituindo os valores que encontramos:
Qtotal = 152nRT0 - 92nRT0 - nRT0 ln 4 = (152 - 92)nRT0 - nRT0 ln 4 = 3nRT0 - nRT0 ln 4

Resposta

O calor recebido nesse ciclo é:
Qtotal = nRT0 (3 - ln 4)
Onde $ n = 1 $ mol, então:
n = 1

Exercícios relacionados