Um mol de um gás ideal monoatômico que se encontra inicialmente a pressão
e volume
sofre um ciclo termodinâmico tal que no início ocorre uma expansão isobárica, na qual o gás passa a ocupar um volume quatro vezes maior, em seguida uma redução da pressão a volume constante e a última etapa é uma compressão isotérmica, voltando o gás ao estado inicial. Calcule:
O calor recebido nesse ciclo.
O calor recebido nesse ciclo.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um mol de um gás ideal monoatômico que passa por um ciclo termodinâmico com três etapas:
- Expansão isobárica: O gás expande com pressão constante, aumentando seu volume quatro vezes.
- Redução de pressão a volume constante: A pressão diminui, mas o volume permanece o mesmo.
- Compressão isotérmica: O gás é comprimido de volta ao estado inicial mantendo a temperatura constante.
Queremos calcular o calor recebido nesse ciclo. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como leis dos gases ideais, processos termodinâmicos (isobárico, isocórico e isotérmico), trabalho realizado pelo gás e a primeira lei da termodinâmica.
Passo 2
Vamos começar pela primeira etapa: a expansão isobárica.
- Isobárico significa que a pressão ($ P $) permanece constante.
- O volume aumenta quatro vezes, então $ V_1 = 4V_0 $.
- Como $ PV = nRT $, podemos relacionar as temperaturas inicial e final dessa etapa.
A variação de temperatura ($ \Delta T $) pode ser encontrada usando:
Então, a temperatura aumenta de $ T_0 $ para $ 4T_0 $.
Passo 3
Agora, vamos calcular o calor ($ Q_1 $) absorvido nessa expansão isobárica.
Para um processo isobárico, o calor é dado por:
Onde:
- $ C_p $ é a capacidade calorífica a pressão constante.
- Para um gás monoatômico, $ C_p = \frac{5}{2}R $.
Então,
Passo 4
Passando para a segunda etapa: redução de pressão a volume constante.
- Isocórico significa que o volume ($ V $) permanece constante.
- A pressão diminui de $ P_0 $ para $ P_1 $.
Usando $ PV = nRT $, podemos encontrar a nova pressão $ P_1 $:
Hmm, parece que houve um erro aqui. Vamos reavaliar.
Na primeira etapa, a pressão permanece $ P_0 $ e o volume aumenta para $ V_1 = 4V_0 $, então a temperatura $ T_1 = 4T_0 $.
Na segunda etapa, a pressão diminui a partir de $ P_0 $ a volume constante $ V_1 = 4V_0 $.
Usando $ PV = nRT $:
Isso indica que a pressão não mudou, o que não faz sentido com a descrição da segunda etapa. Provavelmente, houve uma confusão no enunciado ou na interpretação. Vamos reconsiderar.
Passo 5
Na verdade, ao revisar, percebemos que após a expansão isobárica, o gás tem:
- Pressão: $ P_0 $
- Volume: $ V_1 = 4V_0 $
- Temperatura: $ T_1 = 4T_0 $
Na segunda etapa, ocorre uma redução de pressão a volume constante ($ V = 4V_0 $).
Vamos encontrar a nova temperatura $ T_2 $ após a redução de pressão para $ P_2 $:
Usando $ P_0V_1 = nRT_1 $ e $ P_2V_1 = nRT_2 $, podemos relacionar as duas etapas:
Sabemos que o ciclo retorna ao estado inicial, então na terceira etapa (compressão isotérmica), o gás volta a $ P_0 $, $ V_0 $, e $ T_0 $. Portanto, $ T_2 = T_0 $.
Assim,
Passo 6
Agora, vamos calcular o calor ($ Q_2 $) liberado na segunda etapa (redução de pressão a volume constante).
Para um processo isocórico, o calor é dado por:
Onde:
- $ C_v $ é a capacidade calorífica a volume constante.
- Para um gás monoatômico, $ C_v = \frac{3}{2}R $.
Então,
O sinal negativo indica que o calor está sendo liberado pelo sistema.
Passo 7
Finalmente, a terceira etapa: compressão isotérmica de volta ao estado inicial.
- Isotérmico significa que a temperatura ($ T
T_0 $). - O estado final é $ P_0 $, $ V_0 $, $ T_0 $.
Vamos calcular o trabalho ($ W_3 $) realizado nessa compressão.
Para um processo isotérmico, o trabalho é:
Neste caso, de $ V_f = 4V_0 $ para $ V_i = V_0 $:
Como $ W = Q $ para processos isotérmicos (já que $ \Delta U = 0 $), temos:
O sinal negativo indica que o trabalho está sendo feito sobre o gás, ou seja, o calor está sendo liberado.
Passo 8
Agora, vamos somar os calores de todas as etapas para encontrar o calor líquido recebido no ciclo:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
O calor recebido nesse ciclo é:
Onde $ n = 1 $ mol, então: