Tempo necessário para o lago congelar. (a) Quando a temperatura do ar é 0^{\circ} \mathrm{C}, a água da superfície de um lago congela e forma uma camada de gelo. Mostre que a espessura y da camada de gelo da superfície do lago é proporcional à raiz quadrada do tempo, ou seja, mostre que: y=C \sqrt{t}, onde C=\sqrt{\frac{2 k \Delta T}{L_{F} \rho}}. (b) Supondo que a superfície exterior da camada de gelo esteja a uma temperatura de -10^{\circ} \mathrm{C} e que a superfície inferior esteja a 0^{\circ} \mathrm{C}, calcule o tempo necessário para se formar uma camada de gelo com espessura de 25,0 \mathrm{~cm}. (d) Caso o lago na parte (c) tenha uma profundidade de 40,0 \mathrm{~m}, quanto tempo seria necessário para que ocorresse o congelamento do volume total do lago? Seria provável que isso ocorresse?

Passo 1

O enunciado pede três coisas e dá estas informações:
  • (a) Mostrar que a espessura y da camada de gelo cresce como raiz quadrada do tempo, isto é provar que \;y=C\sqrt{t}\; e obter a expressão de C.
  • (b) Com a superfície externa do gelo a -10^\circ\mathrm{C} e a superfície inferior (interface gelo-água) a 0^\circ\mathrm{C}, calcular o tempo necessário para formar uma camada de gelo de espessura y=25{,}0\\ \mathrm{cm}.
  • (d) Se o lago tiver profundidade 40{,}0\\ \mathrm{m}, calcular o tempo necessário para congelar todo o volume (assumir mesma condição de superfície) e comentar se isso é provável.
Informações que vamos usar / valores típicos (não dados no enunciado, então adoto valores padrão da física do gelo):
  • condutividade térmica do gelo: \;k=2{,}2\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}\; (valor típico),
  • calor latente de fusão da água: \;L_F=3{,}34\times10^{5}\\ \mathrm{J/kg}\;,
  • densidade (massa por volume) aproximada: \;\rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}\; (para facilitar; usar 917,kg/m³ daria resultado similar em ordem de grandeza).
  • diferença de temperatura entre a interface (0°C) e a superfície externa: \;\Delta T = 0^\circ\mathrm{C} - (-10^\circ\mathrm{C}) = 10\\ \mathrm{K}.
O que será feito daqui em diante:
  • Fazer um balanço de energia na frente de congelamento (Stefan problem simplificado) para obter a equação diferencial que relaciona y e t.
  • Integrar essa equação e deduzir y=C\sqrt{t} com expressão de C.
  • Calcular numericamente t para as espessuras pedidas e discutir a plausibilidade do congelamento total do lago.

Passo 2

Modelo físico e balanço de energia (intuição antes da matemática).
  • Ao congelar, a água libera calor latente: para formar um volume de gelo de espessura dy por unidade de área, a energia liberada por unidade de área é \;L_F \rho\, dy\; (energia por massa vezes massa por área).
  • Essa energia tem que ser conduzida através da camada de gelo recém-formada até a superfície exterior fria e dali ser perdida para o ar.
  • Para um perfil de temperatura aproximadamente linear no gelo (pressuposto razoável se o gelo é relativamente fino e o fluxo é quase estacionário), o fluxo de calor por unidade de área (potência por área) através do gelo é dado pela lei de Fourier em forma aproximada
\dot{q} = \frac{k\,\Delta T}{y},
onde \Delta T é a diferença de temperatura entre a interface (0°C) e a superfície externa (negativa) e y é a espessura do gelo. Aqui \dot{q} tem unidades \mathrm{W/m^2} = \mathrm{J/(s\cdot m^2)}.
Explicando as variáveis:
  • \;k\; é a condutividade térmica do gelo ( \mathrm{W/(m\cdot K)}),
  • \;\Delta T\; é a diferença de temperatura entre a interface e a superfície ( \mathrm{K}),
  • \;y\; é a espessura do gelo ( \mathrm{m}),
  • \;\dot{q}\; é a energia por unidade de área e por unidade de tempo que precisa ser removida ( \mathrm{J/(s\cdot m^2)}).
Agora, a taxa de energia liberada por congelamento por unidade de área é a energia latente associada à massa congelada por unidade de tempo e área:
\text{potência liberada por congelamento} = L_F \rho\,\frac{dy}{dt}.ê
Equilíbrio energético (todo o calor liberado deve ser removido através da camada de gelo):
L_F \rho\,\frac{dy}{dt} \;=\; \frac{k\,\Delta T}{y}.

Passo 3

Resolver a equação diferencial para obter y(t).
A equação encontrada é
L_F \rho\,\frac{dy}{dt} = \frac{k\,\Delta T}{y}.
Multiplicando ambos os lados por y e isolando dt:
y\,\frac{dy}{dt} = \frac{k\,\Delta T}{L_F \rho}.
Note que y\,(dy/dt) é \tfrac{1}{2}\,d(y^2)/dt. Então
\frac{1}{2}\,\frac{d}{dt}\bigl(y^2\bigr) = \frac{k\,\Delta T}{L_F \rho}.
Integramos em relação ao tempo, supondo que no instante inicial t=0 a espessura seja y(0)=0 (início do congelamento):
\frac{1}{2}y^2 = \frac{k\,\Delta T}{L_F \rho}\,t + C_0.
Com y(0)=0 segue C_0=0. Assim
y^2 = \frac{2k\,\Delta T}{L_F \rho}\,t.
Tomando raiz positiva (espessura positiva),
y = \sqrt{\frac{2k\,\Delta T}{L_F \rho}}\;\sqrt{t}.
Definindo a constante
C = \sqrt{\frac{2k\,\Delta T}{L_F \rho}},
obtemos a forma desejada
y = C\,\sqrt{t}.
Comentário didático: essa relação significa que, conforme o gelo fica mais espesso, o fluxo de calor através dele diminui (porque o caminho é maior), logo o avanço da frente de congelamento desacelera; por isso a espessura cresce apenas como raiz de t, não linearmente.

Passo 4

Avaliação numérica para a parte (b): calcular t quando y=25{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}25\\ \mathrm{m}, com \Delta T=10\\ \mathrm{K} e os valores adotados.
Primeiro calcular C:
C = \sqrt{\frac{2k\,\Delta T}{L_F \rho}} = \sqrt{\frac{2\cdot 2{,}2\cdot 10}{3{,}34\times10^{5}\cdot 1000}}.
Calculemos numericamente o argumento da raiz:
\frac{2\cdot 2{,}2\cdot 10}{3{,}34\times10^{5}\cdot 1000} = \frac{44}{3{,}34\times10^{8}} \approx 1{,}317\times10^{-7}.
Logo
C \approx \sqrt{1{,}317\times10^{-7}} \approx 3{,}631\times10^{-4}\\ \mathrm{m/\sqrt{s}}.
Agora usamos \;y=C\sqrt{t}\;\Rightarrow\; t=(y/C)^2. Para y=0{,}25\\ \mathrm{m}:
t = \left(\frac{0{,}25}{3{,}631\times10^{-4}}\right)^2 = \frac{0{,}0625}{(3{,}631\times10^{-4})^2} \approx \frac{0{,}0625}{1{,}318\times10^{-7}} \approx 4{,}74\times10^{5}\\ \mathrm{s}.
Converter para dias:
4{,}74\times10^{5}\\ \mathrm{s}\div 86400\\ \mathrm{s/dia} \approx 5{,}49\\ \mathrm{dias}.
Interpretação prática: com superfície a -10^\circ\mathrm{C} e interface a 0^\circ\mathrm{C}, levaria cerca de 5{,}5 dias para formar 25{,}0\\ \mathrm{cm} de gelo nas condições estimadas.

Passo 5

Parte (d): tempo para congelar totalmente uma coluna de água de profundidade y=40{,}0\\ \mathrm{m} usando o mesmo modelo (aplicar a mesma fórmula sem considerar efeitos adicionais).
Usando o mesmo C\approx 3{,}631\times10^{-4}\\ \mathrm{m/\sqrt{s}},
t = \left(\frac{40{,}0}{3{,}631\times10^{-4}}\right)^2 \approx \left(1{,}101\times10^{5}\right)^2 \approx 1{,}21\times10^{10}\\ \mathrm{s}.
Converter para anos (1 ano \approx 3{,}154\times10^{7}\\ \mathrm{s}):
1{,}21\times10^{10}\\ \mathrm{s} \div 3{,}154\times10^{7}\\ \mathrm{s/ano} \approx 3,84\times10^{2}\\ \mathrm{anos}.
Comentário físico sobre plausibilidade:
  • O modelo usado supõe que a água logo abaixo da interface está mantida a 0^\circ\mathrm{C} (reservatório térmico) e ignora o resfriamento do restante da massa de água, entrada de calor do fundo, circulação, neve isolante, radiação, etc. Para congelar uma coluna de 40\\ \mathrm{m} seria preciso remover enorme quantidade de calor (resfriar toda a água até 0^\circ\mathrm{C} e ainda remover o calor latente de fusão). Mesmo no modelo mais favorável (interface a 0^\circ\mathrm{C} constante), o tempo estimado é da ordem de centenas de anos, logo é totalmente improvável que um lago natural congele completamente até o fundo na prática durante um inverno.

Resposta

(a) y = C\sqrt{t}, com C=\sqrt{\dfrac{2k\,\Delta T}{L_F \rho}}.\n
(b) t \approx 4{,}74\times10^{5}\\ \mathrm{s} \approx 5{,}49\\ \mathrm{dias}.\n
(d) t \approx 1{,}21\times10^{10}\\ \mathrm{s} \approx 3,84\times10^{2}\\ \mathrm{anos}. Não seria provável que o lago congelasse totalmente na prática.

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