Tempo necessário para o lago congelar. (a) Quando a temperatura do ar é
, a água da superfície de um lago congela e forma uma camada de gelo. Mostre que a espessura y da camada de gelo da superfície do lago é proporcional à raiz quadrada do tempo, ou seja, mostre que:
, onde
. (b) Supondo que a superfície exterior da camada de gelo esteja a uma temperatura de
e que a superfície inferior esteja a
, calcule o tempo necessário para se formar uma camada de gelo com espessura de
. (d) Caso o lago na parte (c) tenha uma profundidade de
, quanto tempo seria necessário para que ocorresse o congelamento do volume total do lago? Seria provável que isso ocorresse?
Passo 1
O enunciado pede três coisas e dá estas informações:
- (a) Mostrar que a espessura
da camada de gelo cresce como raiz quadrada do tempo, isto é provar que e obter a expressão de . - (b) Com a superfície externa do gelo a
e a superfície inferior (interface gelo-água) a , calcular o tempo necessário para formar uma camada de gelo de espessura . - (d) Se o lago tiver profundidade
, calcular o tempo necessário para congelar todo o volume (assumir mesma condição de superfície) e comentar se isso é provável.
Informações que vamos usar / valores típicos (não dados no enunciado, então adoto valores padrão da física do gelo):
- condutividade térmica do gelo:
(valor típico), - calor latente de fusão da água:
, - densidade (massa por volume) aproximada:
(para facilitar; usar 917,kg/m³ daria resultado similar em ordem de grandeza). - diferença de temperatura entre a interface (0°C) e a superfície externa:
O que será feito daqui em diante:
- Fazer um balanço de energia na frente de congelamento (Stefan problem simplificado) para obter a equação diferencial que relaciona
e . - Integrar essa equação e deduzir
com expressão de . - Calcular numericamente
para as espessuras pedidas e discutir a plausibilidade do congelamento total do lago.
Passo 2
Modelo físico e balanço de energia (intuição antes da matemática).
- Ao congelar, a água libera calor latente: para formar um volume de gelo de espessura
por unidade de área, a energia liberada por unidade de área é (energia por massa vezes massa por área). - Essa energia tem que ser conduzida através da camada de gelo recém-formada até a superfície exterior fria e dali ser perdida para o ar.
- Para um perfil de temperatura aproximadamente linear no gelo (pressuposto razoável se o gelo é relativamente fino e o fluxo é quase estacionário), o fluxo de calor por unidade de área (potência por área) através do gelo é dado pela lei de Fourier em forma aproximada
onde
é a diferença de temperatura entre a interface (0°C) e a superfície externa (negativa) e
é a espessura do gelo. Aqui
tem unidades
.
Explicando as variáveis:
-
é a condutividade térmica do gelo ( ), -
é a diferença de temperatura entre a interface e a superfície ( ), -
é a espessura do gelo ( ), -
é a energia por unidade de área e por unidade de tempo que precisa ser removida ( ).
Agora, a taxa de energia liberada por congelamento por unidade de área é a energia latente associada à massa congelada por unidade de tempo e área:
Equilíbrio energético (todo o calor liberado deve ser removido através da camada de gelo):
Passo 3
Resolver a equação diferencial para obter
.
A equação encontrada é
Multiplicando ambos os lados por
e isolando
:
Note que
é
. Então
Integramos em relação ao tempo, supondo que no instante inicial
a espessura seja
(início do congelamento):
Com
segue
. Assim
Tomando raiz positiva (espessura positiva),
Definindo a constante
obtemos a forma desejada
Comentário didático: essa relação significa que, conforme o gelo fica mais espesso, o fluxo de calor através dele diminui (porque o caminho é maior), logo o avanço da frente de congelamento desacelera; por isso a espessura cresce apenas como raiz de
, não linearmente.
Passo 4
Avaliação numérica para a parte (b): calcular
quando
, com
e os valores adotados.
Primeiro calcular
:
Calculemos numericamente o argumento da raiz:
Logo
Agora usamos
. Para
:
Converter para dias:
Interpretação prática: com superfície a
e interface a
, levaria cerca de
dias para formar
de gelo nas condições estimadas.
Passo 5
Parte (d): tempo para congelar totalmente uma coluna de água de profundidade
usando o mesmo modelo (aplicar a mesma fórmula sem considerar efeitos adicionais).
Usando o mesmo
,
Converter para anos (1 ano
):
Comentário físico sobre plausibilidade:
- O modelo usado supõe que a água logo abaixo da interface está mantida a
(reservatório térmico) e ignora o resfriamento do restante da massa de água, entrada de calor do fundo, circulação, neve isolante, radiação, etc. Para congelar uma coluna de seria preciso remover enorme quantidade de calor (resfriar toda a água até e ainda remover o calor latente de fusão). Mesmo no modelo mais favorável (interface a constante), o tempo estimado é da ordem de centenas de anos, logo é totalmente improvável que um lago natural congele completamente até o fundo na prática durante um inverno.
Resposta
(a)
, com
.\n
(b) \n
(d) . Não seria provável que o lago congelasse totalmente na prática.
(b)
(d)