Um mol de um gás monoatômico ideal é transformado de 0{ }^{\circ} \mathrm{C} e 2 \mathrm{~atm} \mathrm{a}-40^{\circ} \mathrm{Ce} 0,4 atm. Calcule \Delta \mathrm{S} para esta transformação de estado.

Passo 1

O enunciado dá um mol de gás monoatômico ideal que passa do estado inicial \,(T_{1},P_{1})=(273{,}15\:\mathrm{K},2\:\mathrm{atm}) para o estado final \,(T_{2},P_{2})=(233{,}15\:\mathrm{K},0{,}4\:\mathrm{atm}). Queremos calcular a variação de entropia \,\Delta S=S_{2}-S_{1}.

Passo 2

Para um gás ideal, a entropia num estado (T,P) segue a forma
\Delta S = n\,C_{p}\,\ln\!\frac{T_{2}}{T_{1}} - n\,R\,\ln\!\frac{P_{2}}{P_{1}},
onde para gás monoatômico C_{p}=\tfrac{5}{2}R e n=1 mol.

Passo 3

Substituindo n=1 e C_{p}=\tfrac{5}{2}R na expressão,
\Delta S = R\biggl(\frac{5}{2}\ln\!\frac{T_{2}}{T_{1}} -\ln\!\frac{P_{2}}{P_{1}}\biggr).

Passo 4

Calculamos as razões e seus logaritmos naturais:
\frac{T_{2}}{T_{1}} =\frac{233{,}15}{273{,}15}\approx0{,}8536, \quad \ln(0{,}8536)\approx-0{,}1586,
\frac{P_{2}}{P_{1}} =\frac{0{,}4}{2}=0{,}2, \quad \ln(0{,}2)\approx-1{,}6094.

Passo 5

Agora
\Delta S =R\Bigl[\tfrac{5}{2}(-0{,}1586)-(-1{,}6094)\Bigr] =R\bigl(-0{,}3965+1{,}6094\bigr) =R\cdot1{,}2129.
Usando R=8{,}314\:\mathrm{J\,K^{-1}mol^{-1}},
\Delta S \approx8{,}314\times1{,}2129 \approx10{,}09\:\mathrm{J\,K^{-1}}.

Resposta

\displaystyle \Delta S\approx10{,}1\:\mathrm{J\,K^{-1}}.

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