Um mol de um gás monoatômico tem uma pressão inicial
atm e um volume inicial
L. O gás é submetido ao seguinte ciclo quase-estático, i) uma expansão isobárica até o volume
L., ii) um resfriamento a volume constante até atingir ao pressão
, iii) uma compressão isotérmica até voltar ao seu estado inicial.
J/mol.K
Determine as temperaturas
,
, e
, assim como a pressão
.
Determine as temperaturas
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um ciclo termodinâmico de um gás monoatômico. A gente vai precisar usar a Lei dos Gases Ideais que é $ PV = nRT $. Nosso objetivo é achar as temperaturas $ T_1 $, $ T_2 $, $ T_3 $ e a pressão $ P_3 $.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a temperatura inicial $ T_1 $. Usando a fórmula dos gases ideais:
Substituindo os valores:
Mas precisamos converter a pressão de atm para Pa para manter as unidades consistentes. Sabemos que $ 1 , atm = 101325 , Pa $ e $ 1 , L = 0,001 , m^3 $.
Então:
Passo 3
Agora, vamos para a etapa i) da expansão isobárica até $ V_2 = 5 , L $. Como a pressão é constante, a relação $ \frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} $ vale.
Passo 4
Seguimos para a etapa ii) de resfriamento a volume constante. Como o volume é constante, $ \frac{P_2}{T_2} = \frac{P_3}{T_3} $.
Primeiro, como a pressão na etapa i) é a mesma que $ P_1 $ (pois é isobárica):
Então:
Mas precisamos lembrar que no final da etapa iii), voltamos ao estado inicial, então $ T_3 = T_1 = 73,2 , K $.
Substituindo:
Substituindo:
Passo 5
Finalmente, confirmamos a etapa iii) de compressão isotérmica. Como é isotérmica, $ P_3 V_3 = P_1 V_1 $. Já encontramos $ P_3 \approx 1,2 , atm $, e sabemos que $ V_3 = V_1 = 3 , L $, então:
Ops, parece que houve um erro. Vamos recalcular $ P_3 $ usando a condição isotérmica.
Na compressão isotérmica:
Isso não bate, então vamos ajustar $ P_3 $.
Usando $ P_3 V_3 = P_1 V_1 $:
Mas isso não faz sentido, então devemos voltar e recalcular corretamente.
Passo 6
Vamos refazer a etapa ii) considerando que $ T_3 = T_1 $.
Usando $ \frac{P_2}{T_2} = \frac{P_3}{T_3} $:
Agora, na compressão isotérmica:
Agora está correto!
Resposta
As temperaturas são $ T_1 \approx 73,2 , K $, $ T_2 \approx 122 , K $, $ T_3 \approx 73,2 , K $, e a pressão $ P_3 \approx 1,2 , atm $.