Um mol de um gás monoatômico tem uma pressão inicial P1=2 atm e um volume inicial V1=3 L. O gás é submetido ao seguinte ciclo quase-estático, i) uma expansão isobárica até o volume V2=5 L., ii) um resfriamento a volume constante até atingir ao pressão P3, iii) uma compressão isotérmica até voltar ao seu estado inicial. R=8,31 J/mol.K
Determine as temperaturas T1, T2, e T3, assim como a pressão P3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um ciclo termodinâmico de um gás monoatômico. A gente vai precisar usar a Lei dos Gases Ideais que é $ PV = nRT $. Nosso objetivo é achar as temperaturas $ T_1 $, $ T_2 $, $ T_3 $ e a pressão $ P_3 $.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a temperatura inicial $ T_1 $. Usando a fórmula dos gases ideais:
T1
Substituindo os valores:
P1 V1 = n R T1
Mas precisamos converter a pressão de atm para Pa para manter as unidades consistentes. Sabemos que $ 1 , atm = 101325 , Pa $ e $ 1 , L = 0,001 , m^3 $.
Então:
2 , atm times 3 , L = 1 , mol times 8,31 , J/molK times T1
1 , atm = 101325 , Pa
1 , L = 0,001 , m^3

Passo 3

Agora, vamos para a etapa i) da expansão isobárica até $ V_2 = 5 , L $. Como a pressão é constante, a relação $ \frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} $ vale.
V2 = 5 , L
V1T1 = V2T2

Passo 4

Seguimos para a etapa ii) de resfriamento a volume constante. Como o volume é constante, $ \frac{P_2}{T_2} = \frac{P_3}{T_3} $.
Primeiro, como a pressão na etapa i) é a mesma que $ P_1 $ (pois é isobárica):
P2T2 = P3T3
Então:
P1
Mas precisamos lembrar que no final da etapa iii), voltamos ao estado inicial, então $ T_3 = T_1 = 73,2 , K $.
Substituindo:
P2 = P1 = 2 , atm
2122 = P3T3

Passo 5

Finalmente, confirmamos a etapa iii) de compressão isotérmica. Como é isotérmica, $ P_3 V_3 = P_1 V_1 $. Já encontramos $ P_3 \approx 1,2 , atm $, e sabemos que $ V_3 = V_1 = 3 , L $, então:
P3 V3 = P1 V1
P3 approx 1,2 , atm
Ops, parece que houve um erro. Vamos recalcular $ P_3 $ usando a condição isotérmica.
Na compressão isotérmica:
V3 = V1 = 3 , L
1,2 times 3 = 2 times 5
3,6 = 10
Isso não bate, então vamos ajustar $ P_3 $.
Usando $ P_3 V_3 = P_1 V_1 $:
P3
P3 V3 = P1 V1
Mas isso não faz sentido, então devemos voltar e recalcular corretamente.

Passo 6

Vamos refazer a etapa ii) considerando que $ T_3 = T_1 $.
Usando $ \frac{P_2}{T_2} = \frac{P_3}{T_3} $:
T3 = T1
P2T2 = P3T3
Agora, na compressão isotérmica:
2122 = P373,2
P3 = 2 times 73,2122 approx 1,2 , atm
P3 V2 = P1 V1
Agora está correto!

Resposta

As temperaturas são $ T_1 \approx 73,2 , K $, $ T_2 \approx 122 , K $, $ T_3 \approx 73,2 , K $, e a pressão $ P_3 \approx 1,2 , atm $.

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