Um mol de um gás monoatômico tem uma pressão inicial P1=2 atm e um volume inicial V1=3 L. O gás é submetido ao seguinte ciclo quase-estático, i) uma expansão isobárica até o volume V2=5 L., ii) um resfriamento a volume constante até atingir ao pressão P3, iii) uma compressão isotérmica até voltar ao seu estado inicial. R=8,31 J/mol.K
Calcule o calor transferido, o trabalho realizado e a variação de energia interna do gás durante cada parte do ciclo e durante o ciclo completo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre um ciclo termodinâmico envolvendo um gás monoatômico. A gente vai trabalhar com conceitos de termodinâmica, como processos isobáricos (pressão constante), isocóricos (volume constante) e isotérmicos (temperatura constante). Vamos precisar usar fórmulas de trabalho, calor e variação de energia interna para cada parte do ciclo. Bora lá!

Passo 2

Processo i) Expansão Isobárica
Nesse primeiro passo, o gás expande com pressão constante de P1 = 2 atm passando de um volume V1 = 3 L para V2 = 5 L.
Trabalho realizado (W):
Quando a pressão é constante, o trabalho feito pelo gás é dado por:
W = P times De
Primeiro, vamos converter a pressão de atm para Pa para usar unidades consistentes:
1 , atm = 101325 , Pa
Então:
P = 2 times 101325 = 202650 , Pa
A variação de volume:
De
Agora, calculamos o trabalho:
W = 202650 times 0,002 = 405,3 , J
Variação de energia interna (ΔU):
Para um gás monoatômico, a variação de energia interna é:
De
Primeiro, precisamos achar a variação de temperatura usando a equação dos gases ideais:
P V = n R T
Rearranjando para encontrar ΔT:
De
Convertendo o volume para metros cúbicos e usando:
R = 8,31 , J/molK
De
Agora, calculamos ΔU:
De
Calor transferido (Q):
Usando a primeira lei da termodinâmica:
Q = De
Q = 606,2 + 405,3 approx 1011,5 , J

Passo 3

Processo ii) Resfriamento a Volume Constante
Agora, o gás é resfriado mantendo o volume constante de V2 = 5 L, até atingir a pressão P3. Como o volume não muda, não há trabalho realizado nesse processo.
Trabalho realizado (W):
Como o volume é constante:
W = 0 , J
Variação de energia interna (ΔU):
Novamente, para um gás monoatômico:
De
Como não há trabalho, todo o calor transferido é usado para alterar a energia interna:
Q = De
Precisamos encontrar a nova temperatura T3. Usando a equação dos gases ideais antes e depois do resfriamento:
P2 V2T2 = P3 V2T3
Como P2 = P1 = 2 atm e T2 = T1 + De, podemos rearranjar para encontrar T3:
T3 = T2 times P3P2
Mas inicialmente, precisamos saber T1. Usando P1 V1 = n R T1:
T1 = P1 V1n R = 2 times 101325 times 0,0031 times 8,31 approx 73,1 , K
Então,
T2 = T1 + 48,7 = 121,8 , K
Agora,
T3 = 121,8 times P32
Mas precisamos do equilíbrio de energia. Como De e De, podemos resolver para P3 sabendo que o ciclo deve retornar ao estado inicial, mas para simplificação, vamos considerar que após os três processos o ciclo se completa, então P3 = P1.
Portanto:
T3 = T2 times P3P2 = 121,8 times 22 = 121,8 , K
Mas isso não muda, indicando que talvez precise reconsiderar. Na verdade, o ciclo precisa fechar, então após a etapa iii), a pressão retorna a P1.
Assim, calculando ΔT neste processo:
De
Usando De
Como no ciclo completo, De, mas aqui, nesse processo específico, não temos alteração global. Para simplificar, vamos assumir que P3 = P2 V2V2 = P2, o que sugere que não há mudança, mas isso contradiz o enunciado. Portanto, precisaríamos de mais informações para calcular exatamente P3.
Para fins desta resolução, vamos seguir com a variação de temperatura calculada anteriormente e considerar um resfriamento que reduz a temperatura para T1.
Então:
De
Agora, calculamos ΔU:
De
Calor transferido (Q):
Q = De

Passo 4

Processo iii) Compressão Isotérmica
Agora, o gás é comprimido isotermicamente (temperatura constante) de V2 = 5 L de volta ao volume inicial V1 = 3 L. Nesse processo, a temperatura permanece constante, então a variação de energia interna é zero.
Variação de energia interna (ΔU):
De
Trabalho realizado (W):
Para um processo isotérmico:
W = n R T ln(VfVi)
Usando T = T1 = 73,1 , K:
W = 1 times 8,31 times 73,1 times ln(35)
W approx 8,31 times 73,1 times (-0,5108)
W approx -309,8 , J
(O trabalho é negativo porque o gás está sendo comprimido.)
Calor transferido (Q):
Como De:
Q = -W
Q = 309,8 , J

Passo 5

Ciclo Completo
Agora, vamos somar as quantidades de calor, trabalho e variação de energia interna de todos os processos para o ciclo completo.
Trabalho total (W_total):
Wtotal = W1 + W2 + W3 = 405,3 + 0 - 309,8 approx 95,5 , J
Calor total (Q_total):
Qtotal = Q1 + Q2 + Q3 = 1011,5 - 606,2 + 309,8 approx 715,1 , J
Variação de energia interna total (ΔU_total):
Como o ciclo retorna ao estado inicial:
De

Resposta

Durante cada parte do ciclo e no ciclo completo, os valores são:
  • Processo i) Expansão Isobárica:
    • Calor transferido, Q1 approx 1011,5 , J
    • Trabalho realizado, W1 approx 405,3 , J
    • Variação de energia interna, De
  • Processo ii) Resfriamento a Volume Constante:
    • Calor transferido, Q2 approx -606,2 , J
    • Trabalho realizado, W2 = 0 , J
    • Variação de energia interna, De
  • Processo iii) Compressão Isotérmica:
    • Calor transferido, Q3 approx 309,8 , J
    • Trabalho realizado, W3 approx -309,8 , J
    • Variação de energia interna, De
  • Ciclo Completo:
    • Calor total transferido, Qtotal approx 715,1 , J
    • Trabalho total realizado, Wtotal approx 95,5 , J
    • Variação de energia interna total, De

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