Um mol de um gás monoatômico tem uma pressão inicial P1=2 atm e um volume inicial V1=3 L. O gás é submetido ao seguinte ciclo quase-estático, i) uma expansão isobárica até o volume V2=5 L., ii) um resfriamento a volume constante até atingir ao pressão P3, iii) uma compressão isotérmica até voltar ao seu estado inicial. R=8,31 J/mol.K
Mostre o ciclo em um diagrama PV.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício de termodinâmica envolvendo um ciclo de um gás monoatômico. O enunciado nos dá a pressão inicial ( P1=2 atm) e o volume inicial ( V1=3 L) de um mol de gás. O ciclo consiste em três etapas:
  1. Expansão isobárica (pressão constante) até o volume V2=5 L.
  2. Resfriamento a volume constante até atingir a pressão P3.
  3. Compressão isotérmica (temperatura constante) para voltar ao estado inicial.
Para resolver isso, vamos precisar aplicar os conceitos de:
  • Lei dos Gases Ideais: PV = nRT
  • Processos termodinâmicos: isobárico, isocórico e isotérmico.
Vamos passo a passo entender cada etapa e calcular as variáveis necessárias para desenhar o ciclo no diagrama PV.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as condições iniciais do gás:
  • Pressão inicial, P1 = 2 atm
  • Volume inicial, V1 = 3 L
  • Quantidade de mols, n = 1 mol
  • Constante dos gases, R = 0,0821 L·atm/mol·K (convertendo de J/mol·K para unidades compatíveis)
Precisamos também determinar a temperatura inicial para usar na lei dos gases ideais. Rearranjando a equação:
T1 = P1 V1n R
Vamos calcular T1:
T1 = 2 , atm times 3 , L1 , mol times 0,0821 , L·atm/mol·K approx 60,0821 approx 73,14 , K

Passo 3

Etapa i: Expansão Isobárica até V2 = 5 L
Na expansão isobárica, a pressão permanece constante ( P2 = P1 = 2 atm). Vamos usar a lei dos gases ideais para encontrar a nova temperatura T2:
P2 V2 = n R T2
Rearranjando para T2:
T2 = P2 V2n R = 2 times 51 times 0,0821 approx 100,0821 approx 121,72 , K
Então, após a expansão isobárica:
  • P2 = 2 atm
  • V2 = 5 L
  • T2 approx 121,72 K

Passo 4

Etapa ii: Resfriamento a Volume Constante até P3
Aqui, o volume não muda ( V3 = V2 = 5 L). Vamos usar novamente a lei dos gases ideais para encontrar a nova pressão P3, sabendo que a temperatura também muda para T3.
Como o volume é constante, podemos relacionar as pressões e temperaturas:
P3T3 = P2T2
Precisamos determinar qual é T3. Se não há mais informações sobre o processo de resfriamento, vamos supor que retornamos a uma temperatura específica ou que o resfriamento leva a um estado onde a pressão é igual à pressão inicial. Porém, para completar o ciclo, precisamos que após a compressão isotérmica, o gás volte ao estado inicial ( P1, V1, T1).
Mas vamos resolver com base nas informações disponíveis. Suponha que o resfriamento leva o gás de volta a T1:
T3 = T1 = 73,14 , K
Agora, usando a relação:
P373,14 = 2121,72
Resolvendo para P3:
P3 = 2 times 73,14121,72 approx 2 times 0,601 approx 1,202 , atm
Então, após o resfriamento a volume constante:
  • P3 approx 1,202 atm
  • V3 = 5 L
  • T3 = 73,14 K

Passo 5

Etapa iii: Compressão Isotérmica até retornar ao estado inicial
Na compressão isotérmica, a temperatura permanece constante ( T4 = T3 = 73,14 K). Queremos voltar ao estado inicial ( P1 = 2 atm, V1 = 3 L).
Vamos verificar se os valores se alinham:
Usando a lei dos gases ideais:
P3 V3 = n R T3
E
P1 V1 = n R T1
Como T1 = T3 e queremos que P1 V1 = P3 V3 para fechar o ciclo, vamos verificar:
P1 V1 = 2 times 3 = 6 , atm·L
P3 V3 = 1,202 times 5 approx 6,01 , atm·L
Os valores estão praticamente iguais, considerando arredondamentos, confirmando que o ciclo está fechado corretamente.

Resposta

O ciclo termodinâmico pode ser representado no diagrama PV da seguinte forma:
  1. Expansão Isobárica: Linha horizontal de V=3 L para V=5 L a pressão constante de 2 atm.
  2. Resfriamento Isocórico: Linha vertical de P=2 atm para P approx 1,202 atm mantendo o volume constante em 5 L.
  3. Compressão Isotérmica: Curva descendente (hipérbola) de V=5 L para V=3 L a temperatura constante de 73,14 K, retornando ao estado inicial.
Assim, o diagrama PV apresenta um ciclo fechado com as três etapas descritas, formando um triângulo ligeiramente curvado devido à compressão isotérmica.

Exercícios relacionados