Um mol de um gás monoatômico tem uma pressão inicial
atm e um volume inicial
L. O gás é submetido ao seguinte ciclo quase-estático, i) uma expansão isobárica até o volume
L., ii) um resfriamento a volume constante até atingir ao pressão
, iii) uma compressão isotérmica até voltar ao seu estado inicial.
J/mol.K
Mostre o ciclo em um diagrama PV.
Mostre o ciclo em um diagrama PV.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício de termodinâmica envolvendo um ciclo de um gás monoatômico. O enunciado nos dá a pressão inicial (
atm) e o volume inicial (
L) de um mol de gás. O ciclo consiste em três etapas:
- Expansão isobárica (pressão constante) até o volume
L. - Resfriamento a volume constante até atingir a pressão
. - Compressão isotérmica (temperatura constante) para voltar ao estado inicial.
Para resolver isso, vamos precisar aplicar os conceitos de:
- Lei dos Gases Ideais:
- Processos termodinâmicos: isobárico, isocórico e isotérmico.
Vamos passo a passo entender cada etapa e calcular as variáveis necessárias para desenhar o ciclo no diagrama PV.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as condições iniciais do gás:
- Pressão inicial,
atm - Volume inicial,
L - Quantidade de mols,
mol - Constante dos gases,
L·atm/mol·K (convertendo de J/mol·K para unidades compatíveis)
Precisamos também determinar a temperatura inicial para usar na lei dos gases ideais. Rearranjando a equação:
Vamos calcular
:
Passo 3
Etapa i: Expansão Isobárica até
L
Na expansão isobárica, a pressão permanece constante (
atm). Vamos usar a lei dos gases ideais para encontrar a nova temperatura
:
Rearranjando para
:
Então, após a expansão isobárica:
-
atm -
L -
K
Passo 4
Etapa ii: Resfriamento a Volume Constante até
Aqui, o volume não muda (
L). Vamos usar novamente a lei dos gases ideais para encontrar a nova pressão
, sabendo que a temperatura também muda para
.
Como o volume é constante, podemos relacionar as pressões e temperaturas:
Precisamos determinar qual é
. Se não há mais informações sobre o processo de resfriamento, vamos supor que retornamos a uma temperatura específica ou que o resfriamento leva a um estado onde a pressão é igual à pressão inicial. Porém, para completar o ciclo, precisamos que após a compressão isotérmica, o gás volte ao estado inicial (
).
Mas vamos resolver com base nas informações disponíveis. Suponha que o resfriamento leva o gás de volta a
:
Agora, usando a relação:
Resolvendo para
:
Então, após o resfriamento a volume constante:
-
atm -
L -
K
Passo 5
Etapa iii: Compressão Isotérmica até retornar ao estado inicial
Na compressão isotérmica, a temperatura permanece constante (
K). Queremos voltar ao estado inicial (
atm,
L).
Vamos verificar se os valores se alinham:
Usando a lei dos gases ideais:
E
Como
e queremos que
para fechar o ciclo, vamos verificar:
Os valores estão praticamente iguais, considerando arredondamentos, confirmando que o ciclo está fechado corretamente.
Resposta
O ciclo termodinâmico pode ser representado no diagrama PV da seguinte forma:
- Expansão Isobárica: Linha horizontal de
L para L a pressão constante de atm. - Resfriamento Isocórico: Linha vertical de
atm para atm mantendo o volume constante em L. - Compressão Isotérmica: Curva descendente (hipérbola) de
L para L a temperatura constante de K, retornando ao estado inicial.
Assim, o diagrama PV apresenta um ciclo fechado com as três etapas descritas, formando um triângulo ligeiramente curvado devido à compressão isotérmica.