Um mol de um gás perfeito realiza um ciclo quase-estático que consiste nas seguintes quatro etapas sucessivas:
(a) Do estado \left(P_{1}, V_{1}\right) a pressão constante até o estado \left(P_{1}, V_{2}\right);
(b) A volume constante até o estado \left(P_{2}, V_{2}\right);
(c) A pressão constante até o estado \left(P_{2}, V_{1}\right);
(d) A volume constante, retornando ao estado inicial \left(P_{1}, V_{1}\right).
Determine o trabalho realizado sobre o gás no ciclo e o calor absorvido pelo gás no ciclo.

Passo 1

O enunciado nos dá um ciclo quase-estático composto por quatro etapas, com um mol ( n=1) de gás perfeito, passando pelos estados \left(P_{1},V_{1}\right) e \left(P_{2},V_{2}\right). As etapas são, em ordem:
  • (a) isobárica: de \left(P_{1},V_{1}\right) a \left(P_{1},V_{2}\right);
  • (b) isocórica: de \left(P_{1},V_{2}\right) a \left(P_{2},V_{2}\right);
  • (c) isobárica: de \left(P_{2},V_{2}\right) a \left(P_{2},V_{1}\right);
  • (d) isocórica: de \left(P_{2},V_{1}\right) a \left(P_{1},V_{1}\right).
O que o enunciado pede:
  • Determinar o trabalho realizado sobre o gás no ciclo.
  • Determinar o calor absorvido pelo gás no ciclo.
Listei as informações úteis acima; a resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Primeiro vou fixar convenções e fórmulas que vamos usar (com calma, passo-a-passo):
  • Trabalho quasi-estático realizado pelo gás ao variar o volume é dado por
W_{\text{by}}=\int P\,dV.
Aqui W_{\text{by}} é o trabalho feito pelo gás (positivo se o gás se expande). O trabalho realizado sobre o gás é o negativo disso:
W_{\text{on}}=-W_{\text{by}}.
É importante entender isso: se o gás expande, ele realiza trabalho sobre o entorno ( W_{\text{by}}>0 ) e o trabalho sobre o gás é negativo.
  • Para um processo isobárico (pressão constante) entre volumes V_i e V_f temos
W_{\text{by}}=P\,(V_f-V_i).
  • Para um processo isocórico (volume constante) temos
W_{\text{by}}=0.
  • Para o gás ideal vale a equação de estado
PV=nRT,
onde R é a constante dos gases e n o número de mols (aqui n=1).
  • Primeira lei da termodinâmica (convenção W_{\text{by}} positivo):
\Delta U = Q - W_{\text{by}},
onde \Delta U é variação de energia interna e Q é o calor fornecido ao gás (positivo se absorvido pelo gás).
Também usaremos capacidades caloríficas molares C_V e C_P com a relação
C_P-C_V=R.

Passo 3

Calcular o trabalho em cada etapa (trabalho pelo gás, depois somamos e mudamos o sinal para trabalho sobre o gás):
Etapa (a) isobárica a P_1, de V_1 para V_2:
W_{a,\text{by}}=P_1\,(V_2-V_1).
Etapa (b) isocórica (volume constante V_2):
W_{b,\text{by}}=0.
Etapa (c) isobárica a P_2, de V_2 para V_1:
W_{c,\text{by}}=P_2\,(V_1-V_2)= -P_2\,(V_2-V_1).
Etapa (d) isocórica (volume constante V_1):
W_{d,\text{by}}=0.
Soma do trabalho realizado pelo gás no ciclo:
W_{\text{by}}=W_{a,\text{by}}+W_{b,\text{by}}+W_{c,\text{by}}+W_{d,\text{by}} = P_1\,(V_2-V_1) + 0 - P_2\,(V_2-V_1).
Agrupando,
W_{\text{by}}=(P_1-P_2)\,(V_2-V_1).
Portanto o trabalho realizado sobre o gás (negativo do anterior) é
W_{\text{on}}=-W_{\text{by}}=(P_2-P_1)\,(V_2-V_1).
Observação intuitiva: o trabalho do ciclo é a área retangular no diagrama P V com lado |P_1-P_2| e |V_2-V_1|; o sinal depende da orientação do ciclo (a expressão acima já incorpora a convenção de sinais).

Passo 4

Agora cálculo do calor trocado em cada etapa e do calor líquido absorvido pelo gás no ciclo. Vou usar capacidades molares e a relação com variação de temperatura; como n=1, escrevo diretamente.
Para obter as variações de temperatura uso T=\dfrac{PV}{nR} (com n=1):
  • Estado inicial: T_1=\dfrac{P_1V_1}{R}.
  • Após (a): T_2=\dfrac{P_1V_2}{R}.
  • Após (b): T_3=\dfrac{P_2V_2}{R}.
  • Após (c): T_4=\dfrac{P_2V_1}{R}, que coincide com T_4 antes de (d) e após (d) retornamos a T_1.
Calor em cada etapa:
  • Etapa (a) isobárica: \Delta T_a=T_2-T_1=\dfrac{P_1(V_2-V_1)}{R}. Para processo isobárico o calor trocado é Q_a=C_P\,\Delta T_a. Assim
Q_a=C_P\cdot\frac{P_1\,(V_2-V_1)}{R}.
  • Etapa (b) isocórica: \Delta T_b=T_3-T_2=\dfrac{(P_2-P_1)V_2}{R}. Em isocórico, Q_b=C_V\,\Delta T_b. Logo
Q_b=C_V\cdot\frac{(P_2-P_1)\,V_2}{R}.
  • Etapa (c) isobárica: \Delta T_c=T_4-T_3=\dfrac{P_2(V_1-V_2)}{R}=-\dfrac{P_2(V_2-V_1)}{R}. Assim
Q_c=C_P\cdot\frac{P_2\,(V_1-V_2)}{R} = -C_P\cdot\frac{P_2\,(V_2-V_1)}{R}.
  • Etapa (d) isocórica: \Delta T_d=T_1-T_4=\dfrac{(P_1-P_2)V_1}{R}. Então
Q_d=C_V\cdot\frac{(P_1-P_2)\,V_1}{R}.
Somando os calores:
Q_{\text{total}}=Q_a+Q_b+Q_c+Q_d.
Agrupando termos de forma conveniente:
Q_a+Q_c=\frac{C_P}{R}\big[P_1(V_2-V_1)+P_2(V_1-V_2)\big]=\frac{C_P}{R}(P_1-P_2)(V_2-V_1).
Q_b+Q_d=\frac{C_V}{R}\big[(P_2-P_1)V_2+(P_1-P_2)V_1\big] =\frac{C_V}{R}(P_2-P_1)(V_2-V_1).
Somando esses dois resultados:
Q_{\text{total}}=(P_1-P_2)(V_2-V_1)\frac{C_P-C_V}{R}.
Mas \;C_P-C_V=R\;, então
Q_{\text{total}}=(P_1-P_2)(V_2-V_1).
Esse resultado coincide com a expressão para W_{\text{by}} obtida no Passo 3, como esperado pela primeira lei em um ciclo fechado ( \Delta U=0 implica Q_{\text{total}}=W_{\text{by}}).
Portanto o calor líquido absorvido pelo gás (positivo se o gás recebeu calor) é
Q_{\text{absorvido}}=(P_1-P_2)(V_2-V_1).

Passo 5

Resumo físico e observações finais (curtas e úteis):
  • Trabalho realizado sobre o gás: W_{\text{on}}=(P_2-P_1)(V_2-V_1).
  • Calor absorvido pelo gás no ciclo (neto): Q=(P_1-P_2)(V_2-V_1).
    Note que Q=-W_{\text{on}} e Q=W_{\text{by}}, e que o sinal desses valores depende das relações entre P_1,P_2 e V_1,V_2. Por exemplo, se P_1>P_2 e V_2>V_1 então Q>0 (gás absorve calor) e W_{\text{on}}<0 (gás realiza trabalho líquido sobre o entorno).
Força: você chegou até aqui — ótima atitude! Esses passos são exatamente o que costumam cair na prova.

Resposta

\displaystyle W_{\text{realizado sobre o gás}}=(P_{2}-P_{1})\,(V_{2}-V_{1})á
\displaystyle Q_{\text{absorvido pelo gás no ciclo}}=(P_{1}-P_{2})\,(V_{2}-V_{1})á

Exercícios relacionados