Um mol de um gás perfeito realiza um ciclo quase-estático que consiste nas seguintes quatro etapas sucessivas:
(a) Do estado
a pressão constante até o estado
;
(b) A volume constante até o estado
;
(c) A pressão constante até o estado
;
(d) A volume constante, retornando ao estado inicial
.
Determine o trabalho realizado sobre o gás no ciclo e o calor absorvido pelo gás no ciclo.
(a) Do estado
(b) A volume constante até o estado
(c) A pressão constante até o estado
(d) A volume constante, retornando ao estado inicial
Passo 1
O enunciado nos dá um ciclo quase-estático composto por quatro etapas, com um mol (
) de gás perfeito, passando pelos estados
e
. As etapas são, em ordem:
- (a) isobárica: de
a ; - (b) isocórica: de
a ; - (c) isobárica: de
a ; - (d) isocórica: de
a .
O que o enunciado pede:
- Determinar o trabalho realizado sobre o gás no ciclo.
- Determinar o calor absorvido pelo gás no ciclo.
Listei as informações úteis acima; a resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Primeiro vou fixar convenções e fórmulas que vamos usar (com calma, passo-a-passo):
- Trabalho quasi-estático realizado pelo gás ao variar o volume é dado por
Aqui
é o trabalho feito pelo gás (positivo se o gás se expande). O trabalho realizado sobre o gás é o negativo disso:
É importante entender isso: se o gás expande, ele realiza trabalho sobre o entorno (
) e o trabalho sobre o gás é negativo.
- Para um processo isobárico (pressão constante) entre volumes
e temos
- Para um processo isocórico (volume constante) temos
- Para o gás ideal vale a equação de estado
onde
é a constante dos gases e
o número de mols (aqui
).
- Primeira lei da termodinâmica (convenção
positivo):
onde
é variação de energia interna e
é o calor fornecido ao gás (positivo se absorvido pelo gás).
Também usaremos capacidades caloríficas molares
e
com a relação
Passo 3
Calcular o trabalho em cada etapa (trabalho pelo gás, depois somamos e mudamos o sinal para trabalho sobre o gás):
Etapa (a) isobárica a
, de
para
:
Etapa (b) isocórica (volume constante
):
Etapa (c) isobárica a
, de
para
:
Etapa (d) isocórica (volume constante
):
Soma do trabalho realizado pelo gás no ciclo:
Agrupando,
Portanto o trabalho realizado sobre o gás (negativo do anterior) é
Observação intuitiva: o trabalho do ciclo é a área retangular no diagrama
–
com lado
e
; o sinal depende da orientação do ciclo (a expressão acima já incorpora a convenção de sinais).
Passo 4
Agora cálculo do calor trocado em cada etapa e do calor líquido absorvido pelo gás no ciclo. Vou usar capacidades molares e a relação com variação de temperatura; como
, escrevo diretamente.
Para obter as variações de temperatura uso
(com
):
- Estado inicial:
. - Após (a):
. - Após (b):
. - Após (c):
, que coincide com antes de (d) e após (d) retornamos a .
Calor em cada etapa:
- Etapa (a) isobárica:
. Para processo isobárico o calor trocado é . Assim
- Etapa (b) isocórica:
. Em isocórico, . Logo
- Etapa (c) isobárica:
. Assim
- Etapa (d) isocórica:
. Então
Somando os calores:
Agrupando termos de forma conveniente:
Somando esses dois resultados:
Mas
, então
Esse resultado coincide com a expressão para
obtida no Passo 3, como esperado pela primeira lei em um ciclo fechado (
implica
).
Portanto o calor líquido absorvido pelo gás (positivo se o gás recebeu calor) é
Passo 5
Resumo físico e observações finais (curtas e úteis):
- Trabalho realizado sobre o gás:
. - Calor absorvido pelo gás no ciclo (neto):
.
Note quee , e que o sinal desses valores depende das relações entre e . Por exemplo, se e então (gás absorve calor) e (gás realiza trabalho líquido sobre o entorno).
Força: você chegou até aqui — ótima atitude! Esses passos são exatamente o que costumam cair na prova.