Considere um plano infinito com um buraco circular de raio
no centro. Determine o campo elétrico sobre o eixo que passa pelo centro do buraco, perpendicular ao plano.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados ele dá.
- Pede: determinar o campo elétrico sobre o eixo que passa pelo centro do buraco circular (ou seja, sobre o eixo perpendicular ao plano que corta o centro do buraco), em função da distância
desse ponto ao plano. - Dados implícitos: o plano é infinito e tem densidade superficial de carga uniforme; seja essa densidade
(assumimos carga positiva se ). O buraco é um círculo de raio centrado na origem do plano. - Convenção de coordenadas: escolho o plano como o plano
e o eixo pedido é o eixo ; pontos sobre o eixo têm coordenada . A unidade vetorial ao longo do eixo é . - Objetivo final: obter uma expressão para o campo
(módulo e direção) ao longo do eixo, em termos de , , e .
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (sem calcular ainda).
- Ideia física simples: o plano infinito com um buraco pode ser visto como a superposição de um plano infinito uniformemente carregado (sem buraco) mais uma “carga negativa” localizada no disco do buraco, ou equivalentemente como plano infinito com densidade
menos um disco de mesma densidade ocupando o buraco. Em termos de campo: campo total = campo do plano infinito (sem buraco) menos o campo produzido pelo disco circular (com densidade ) situado em . - Vou usar a princípio da superposição linear do campo elétrico: se duas distribuições geram
e , a distribuição combinada gera . - Então preciso de duas coisas conhecidas/calculáveis:
- Campo de um plano infinito uniformemente carregado.
- Campo ao longo do eixo de um disco circular uniformemente carregado.
- Depois faço
.
Passo 3
Campo de um plano infinito uniformemente carregado (lembrando e explicando a fórmula).
- Fórmula que vamos usar:
onde é a densidade superficial (carga por unidade de área), é a permissividade do vácuo e é o vetor unitário normal ao plano, apontando para o lado onde se avalia o campo. Aqui, para pontos com , ; para , . - Rápida justificativa (Gauss): usando uma “caixa de Gauss” (um cilindro perpendicular ao plano) e simetria, a superfície lateral não contribui e as duas tampas (uma de cada lado) recebem o fluxo. Para densidade
, o fluxo total é . Como as duas tampas têm mesmo área e o campo tem mesma magnitude de ambos os lados, cada lado contribui com . Isso leva à fórmula acima. - Observação de orientação: se
, o campo aponta para fora das duas faces do plano (ou seja, em dependendo do lado).
Passo 4
Campo ao longo do eixo de um disco circular uniformemente carregado — derivação passo a passo.
- Configuração: disco de raio
no plano com densidade superficial . Queremos o campo em um ponto sobre o eixo, a distância acima do plano (posição com ; resultado será análogo para por simetria). - Estratégia de cálculo: decompor o disco em anéis concêntricos de raio
e espessura . Cada anel tem carga . - Campo de um anel no eixo: um anel de raio
e carga produz, no ponto , um campo axial cuja componente axial é Explicação: a distancia do ponto a cada elemento do anel é ; a componente axial de campo de um elemento é multiplicada por . Ao combinar e integrar sobre o anel aparece o fator mostrado. - Substituindo
: Simplificando constantes: - Integrar
de até para obter o campo total do disco: - Fazer a integral: use substituição
, daí e quando tem , quando tem . Então Isso é Avaliando a primitiva , obtemos Como e estamos considerando (vamos tratar o caso geral por simetria depois), fica Simplificando: - Direção: esse campo aponta ao longo de
para se (afastando-se do disco).
Passo 5
Superpor: campo do plano com buraco = campo do plano infinito menos campo do disco.
- Campo do plano infinito para
é . - Campo do disco para
é . - Subtraindo (plano menos disco) dá o campo do plano com buraco:
Simplificando: - Isso vale para
. Pelo mesmo argumento de simetria (invertem-se as direções para ) a expressão vetorial válida para qualquer é onde pode ser positivo ou negativo e é o vetor unitário na direção crescente de . Observe que o fator já carrega o sinal correto: para o campo aponta no sentido negativo de .
Passo 6
Interpretações úteis e limites (para ajudar na prova)
- No centro do buraco, exatamente no plano (
), o campo vale porque o fator zera em . Isso é intuitivo: simetria do problema leva a cancelamento no ponto central do buraco. - Para
(muito longe do plano), e , logo que é o campo do plano infinito — faz sentido: visto de longe o buraco é pequeno e o sistema se comporta como um plano completo. - Para
(próximo ao plano mas acima do buraco) pode-se aproximar , então ou seja o campo cresce linearmente com perto do plano dentro do buraco (comportamento semelhante a uma região de campo quase uniforme nulo no plano e crescendo com a distância).
Dica para prova: lembrar da decomposição “plano infinito menos disco” e da fórmula já conhecida do disco; se não lembrar da fórmula do disco, derive rapidamente pelo método do anel (que é curto) como fiz acima.