Calcule o trabalho realizado sobre 1 mol de um gás perfeito em uma compressão adiabática quase-estática do volume
para
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado:
mol de um gás perfeito sofre uma compressão adiabática quase-estática (reversível) do volume para . - Pergunta: calcular o trabalho realizado sobre o gás durante esse processo (ou seja, o trabalho entregue ao sistema).
- Informação implícita importante que vou usar depois: em uma compressão adiabática reversível não há troca de calor (
) e o processo satisfaz a relação , onde . Aqui mol, é a constante universal dos gases, é a pressão e a temperatura.
Passo 2
Escolher e explicar a convenção de sinais para trabalho:
- Convenção adotada: o trabalho realizado sobre o gás será denotado por
. A relação com o trabalho realizado pelo gás é
- O trabalho realizado pelo gás na mudança de volume é
. Portanto o trabalho sobre o gás é
Explicação rápida: se o gás se expande (
aumenta) ele faz trabalho sobre o entorno; se é comprimido (
diminui) o entorno faz trabalho sobre o gás — por isso o sinal negativo na definição acima.
Passo 3
Expressar
em função de
usando a condição adiabática reversível:
- Para processo adiabático reversível vale
- Logo, ao longo do processo podemos escrever
Aqui
é a razão entre capacidades térmicas molares à pressão e a volume constantes,
. Para um gás ideal vale também
.
Passo 4
Calcular a integral do trabalho substituindo
:
Agora avaliamos a integral passo a passo:
Portanto
Passo 5
Simplificar a expressão e reescrever em formas úteis:
- Observe que
. Assim
- Usando
dá para escrever formas alternativas. Por exemplo:
Logo uma forma muito compacta é
Essa é uma forma prática quando se conhecem
.
Passo 6
Forma alternativa via variação da energia interna (útil para entender o sinal e a física):
- Em um processo adiabático
, pela primeira lei da termodinâmica
- Para gás ideal mono-molar (
) a variação de energia interna é . Assim
- Usando a relação adiabática
const, obtém-se . Substituindo:
- Como
para , pode-se reescrever em termos de (ou de ):
Essa expressão é exatamente equivalente às anteriores — ótima checagem de consistência.
Passo 7
Interpretação prática e sinal:
- Para compressão
tem-se , logo como esperado (trabalho é realizado sobre o gás). - Todas as formas acima são equivalentes; escolha a que usar depende das grandezas que você conhece no problema concreto.