Calcule o trabalho realizado sobre 1 mol de um gás perfeito em uma compressão adiabática quase-estática do volume V_{1} para V_{2}.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: 1 mol de um gás perfeito sofre uma compressão adiabática quase-estática (reversível) do volume \,V_{1}\, para \,V_{2}\,.
  • Pergunta: calcular o trabalho realizado sobre o gás durante esse processo (ou seja, o trabalho entregue ao sistema).
  • Informação implícita importante que vou usar depois: em uma compressão adiabática reversível não há troca de calor ( Q=0) e o processo satisfaz a relação \,P V^{\gamma}=\text{constante}\,, onde \gamma = C_{P}/C_{V}. Aqui n=1 mol, R é a constante universal dos gases, P é a pressão e T a temperatura.

Passo 2

Escolher e explicar a convenção de sinais para trabalho:
  • Convenção adotada: o trabalho realizado sobre o gás será denotado por W_{\text{on}}. A relação com o trabalho realizado pelo gás W_{\text{by}} é
W_{\text{on}} = -W_{\text{by}}.
  • O trabalho realizado pelo gás na mudança de volume é \,W_{\text{by}}=\displaystyle\int_{V_{1}}^{V_{2}} P\,dV. Portanto o trabalho sobre o gás é
W_{\text{on}} = -\int_{V_{1}}^{V_{2}} P\,dV.
Explicação rápida: se o gás se expande ( V aumenta) ele faz trabalho sobre o entorno; se é comprimido ( V diminui) o entorno faz trabalho sobre o gás — por isso o sinal negativo na definição acima.

Passo 3

Expressar P em função de V usando a condição adiabática reversível:
  • Para processo adiabático reversível vale
P V^{\gamma} = \text{constante} \equiv K.
  • Logo, ao longo do processo podemos escrever
P = K\,V^{-\gamma}.
Aqui \gamma é a razão entre capacidades térmicas molares à pressão e a volume constantes, \gamma = C_{P}/C_{V}. Para um gás ideal vale também \,C_{P}-C_{V}=R.

Passo 4

Calcular a integral do trabalho substituindo P = K V^{-\gamma}:
W_{\text{on}} = -\int_{V_{1}}^{V_{2}} K\,V^{-\gamma}\,dV.
Agora avaliamos a integral passo a passo:
\int V^{-\gamma}\,dV = \frac{V^{1-\gamma}}{1-\gamma}\qquad(\text{válido pois }\gamma\neq1).á
Portanto
W_{\text{on}} = -K\left[\frac{V^{1-\gamma}}{1-\gamma}\right]_{V_{1}}^{V_{2}} = -\frac{K}{1-\gamma}\bigl(V_{2}^{\,1-\gamma}-V_{1}^{\,1-\gamma}\bigr).

Passo 5

Simplificar a expressão e reescrever em formas úteis:
  • Observe que \dfrac{-1}{1-\gamma}=\dfrac{1}{\gamma-1}. Assim
W_{\text{on}} = \frac{K}{\gamma-1}\bigl(V_{2}^{\,1-\gamma}-V_{1}^{\,1-\gamma}\bigr).
  • Usando K=P_{1}V_{1}^{\gamma}=P_{2}V_{2}^{\gamma} dá para escrever formas alternativas. Por exemplo:
K\,V_{2}^{\,1-\gamma}=P_{2}V_{2}^{\gamma}\,V_{2}^{\,1-\gamma}=P_{2}V_{2},
K\,V_{1}^{\,1-\gamma}=P_{1}V_{1}.
Logo uma forma muito compacta é
W_{\text{on}}=\frac{P_{2}V_{2}-P_{1}V_{1}}{\gamma-1}.
Essa é uma forma prática quando se conhecem P_{1},V_{1},P_{2},V_{2}.

Passo 6

Forma alternativa via variação da energia interna (útil para entender o sinal e a física):
  • Em um processo adiabático Q=0, pela primeira lei da termodinâmica
\Delta U = Q + W_{\text{on}} = W_{\text{on}}.
  • Para gás ideal mono-molar ( n=1) a variação de energia interna é \Delta U = C_{V}(T_{2}-T_{1}). Assim
W_{\text{on}} = C_{V}(T_{2}-T_{1}).
  • Usando a relação adiabática T V^{\gamma-1}= const, obtém-se T_{2}=T_{1}\left(\dfrac{V_{1}}{V_{2}}\right)^{\gamma-1}. Substituindo:
W_{\text{on}} = C_{V}T_{1}\left[\left(\frac{V_{1}}{V_{2}}\right)^{\gamma-1}-1\right].
  • Como C_{V}=\dfrac{R}{\gamma-1} para n=1, pode-se reescrever em termos de T_{1} (ou de P_{1}V_{1}=R T_{1}):
W_{\text{on}} = \frac{R}{\gamma-1}\,T_{1}\left[\left(\frac{V_{1}}{V_{2}}\right)^{\gamma-1}-1\right].
Essa expressão é exatamente equivalente às anteriores — ótima checagem de consistência.

Passo 7

Interpretação prática e sinal:
  • Para compressão (V_{2}<V_{1}) tem-se T_{2}>T_{1}, logo W_{\text{on}}>0 como esperado (trabalho é realizado sobre o gás).
  • Todas as formas acima são equivalentes; escolha a que usar depende das grandezas que você conhece no problema concreto.

Resposta

W_{\text{on}}=\frac{K}{\gamma-1}\bigl(V_{2}^{\,1-\gamma}-V_{1}^{\,1-\gamma}\bigr)
\text{equivalente a}\qquad W_{\text{on}}=\frac{P_{2}V_{2}-P_{1}V_{1}}{\gamma-1}
\text{e também}\qquad W_{\text{on}}=C_{V}(T_{2}-T_{1})=\frac{R}{\gamma-1}\,T_{1}\left[\left(\frac{V_{1}}{V_{2}}\right)^{\gamma-1}-1\right]é

Exercícios relacionados