A mola
o bloco (
) e o atrito (
) na figura ao lado formam um sistema harmônico amortecido. O bloco é puxado, elongando-se a mola
, e liberado. Determine: o tempo para que a amplitude das oscilações reduza em quatro quintos do valor inicial
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema com uma mola de constante elástica $ k = 6,00 , N/m $, um bloco de massa $ m = 1,40 , kg $ e um atrito com coeficiente $ b = 0,140 , kg/s $. Quando a mola é elongada em $ 8,00 , cm $ e o bloco é solto, o sistema vai oscilar, mas com o tempo a amplitude dessas oscilações vai diminuindo por causa do atrito. A gente precisa descobrir quanto tempo leva para que a amplitude das oscilações diminua para quatro quintos do valor inicial.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a elongação inicial para metros: $ 8,00 , cm = 0,08 , m $. A amplitude inicial $ A_0 $ é $ 0,08 , m $.
Passo 3
Como o sistema é harmônico amortecido, a amplitude diminui exponencialmente com o tempo. A fórmula que descreve essa diminuição é:
onde $ \gamma $ é a taxa de amortecimento e $ t $ é o tempo.
Passo 4
Precisamos encontrar $ \gamma $. A taxa de amortecimento é dada por:
Substituindo os valores:
Passo 5
Queremos que a amplitude $ A(t) $ seja quatro quintos da amplitude inicial $ A_0 $:
Vamos resolver essa equação para $ t $.
Passo 6
Aplicando o logaritmo natural dos dois lados:
Isolando $ t $:
Passo 7
Calculando o numerador:
Agora, substituindo $ \gamma = 0,05 , s^{-1} $:
Resposta
O tempo necessário para que a amplitude das oscilações reduza para quatro quintos do valor inicial é aproximadamente $ 4,46 , segundos $.