A mola (k=6,00 N / m) o bloco ( m=1,40 kg ) e o atrito ( b=0,140 kg / s ) na figura ao lado formam um sistema harmônico amortecido. O bloco é puxado, elongando-se a mola 8,00 cm, e liberado. Determine: o tempo para que a amplitude das oscilações reduza em quatro quintos do valor inicial

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema com uma mola de constante elástica $ k = 6,00 , N/m $, um bloco de massa $ m = 1,40 , kg $ e um atrito com coeficiente $ b = 0,140 , kg/s $. Quando a mola é elongada em $ 8,00 , cm $ e o bloco é solto, o sistema vai oscilar, mas com o tempo a amplitude dessas oscilações vai diminuindo por causa do atrito. A gente precisa descobrir quanto tempo leva para que a amplitude das oscilações diminua para quatro quintos do valor inicial.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a elongação inicial para metros: $ 8,00 , cm = 0,08 , m $. A amplitude inicial $ A_0 $ é $ 0,08 , m $.

Passo 3

Como o sistema é harmônico amortecido, a amplitude diminui exponencialmente com o tempo. A fórmula que descreve essa diminuição é:
A(t) = A0 , e^-gamma t
onde $ \gamma $ é a taxa de amortecimento e $ t $ é o tempo.

Passo 4

Precisamos encontrar $ \gamma $. A taxa de amortecimento é dada por:
gamma
Substituindo os valores:
gamma = b2m

Passo 5

Queremos que a amplitude $ A(t) $ seja quatro quintos da amplitude inicial $ A_0 $:
A(t)
Vamos resolver essa equação para $ t $.

Passo 6

Aplicando o logaritmo natural dos dois lados:
ln(45) = -gamma t
Isolando $ t $:
t

Passo 7

Calculando o numerador:
ln(45) = ln(0,8) approx -0,2231
Agora, substituindo $ \gamma = 0,05 , s^{-1} $:
gamma = 0,05 , s^-1

Resposta

O tempo necessário para que a amplitude das oscilações reduza para quatro quintos do valor inicial é aproximadamente $ 4,46 , segundos $.

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