Um próton (núcleo de um átomo de hidrogênio) é acelerado em um acelerador linear. Em um dos estágios do acelerador, o próton sofre uma aceleração constante de
. O próton entra nesse estágio com velocidade inicial de
, e o estágio possui comprimento de
.
(a) Determine a velocidade do próton ao final do estágio.
(b) Determine o ganho de energia cinética devido à aceleração.
Considere a massa do próton igual a
e expresse a energia em elétrons-volt.
(a) Determine a velocidade do próton ao final do estágio.
(b) Determine o ganho de energia cinética devido à aceleração.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
- Aceleração constante do próton:
. - Velocidade inicial:
. - Comprimento do estágio (deslocamento na direção da aceleração):
. - Massa do próton:
. - Constante de conversão:
.
O enunciado pede:
(a) Determinar a velocidade do próton ao final do estágio (ou seja, depois de percorrer
).
(b) Determinar o ganho de energia cinética devido à aceleração, e expressar essa energia em elétron-volts.
(a) Determinar a velocidade do próton ao final do estágio (ou seja,
(b) Determinar o ganho de energia cinética devido à aceleração, e expressar essa energia em elétron-volts.
Passo 2
Fórmula que usamos para obter a velocidade final em movimento com aceleração constante.
Começamos das equações da cinemática com aceleração constante:
Eliminando o tempo
entre essas duas equações obtemos a relação útil
Explicando as variáveis:
-
é a velocidade final que queremos achar. -
é a velocidade inicial conhecida. -
é a aceleração (constante). -
é o deslocamento ao longo do qual a aceleração atuou.
Essa fórmula é perfeita porque não exige o tempo, só usa as quantidades que temos.
Passo 3
Aplicando a fórmula
com os números dados. Vou calcular cada termo separadamente para ficar bem claro.
Calcular
:
Calcular
:
Somando para obter
:
Agora a raiz quadrada para achar
:
Passo 4
Verificação rápida da validade do tratamento não-relativístico.
Comparando com a velocidade da luz
,
Como
é cerca de
de
, os efeitos relativísticos são pequenos neste problema e o uso das fórmulas clássicas de cinemática e energia é aceitável (boa prática: se
fosse uma fração muito maior de
, haveria que usar fórmulas relativísticas).
Passo 5
Cálculo do ganho de energia cinética
.
Pelo teorema trabalho-energia, o trabalho da força resultante sobre o próton iguala a variação da energia cinética:
(Outra forma equivalente é
; ambas dão o mesmo resultado.)
Calculemos
em joules usando
:
Faço em etapas:
Arredondando coerentemente com os dados:
Passo 6
Converter a energia de joules para elétron-volts.
Usamos
. Então
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Resposta
(a)
\n
(b) (aprox.
)
(b)