Um próton (núcleo de um átomo de hidrogênio) é acelerado em um acelerador linear. Em um dos estágios do acelerador, o próton sofre uma aceleração constante de 3,40 \times 10^{15} \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. O próton entra nesse estágio com velocidade inicial de 2,60 \times 10^{7} \mathrm{~m} / \mathrm{s}, e o estágio possui comprimento de 3,20 \mathrm{~cm}.
(a) Determine a velocidade do próton ao final do estágio.
(b) Determine o ganho de energia cinética devido à aceleração.
Considere a massa do próton igual a 1,67 x 10^{-27} \mathrm{~kg} e expresse a energia em elétrons-volt.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Aceleração constante do próton: a = 3,40\times 10^{15}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Velocidade inicial: v_0 = 2,60\times 10^{7}\\ \mathrm{m/s}.
  • Comprimento do estágio (deslocamento na direção da aceleração): \Delta x = 3,20\\ \mathrm{cm} = 0,0320\\ \mathrm{m}.
  • Massa do próton: m = 1,67\times 10^{-27}\\ \mathrm{kg}.
  • Constante de conversão: 1\\ \mathrm{eV} = 1,602176634\times 10^{-19}\\ \mathrm{J}.
O enunciado pede:
(a) Determinar a velocidade do próton ao final do estágio (ou seja, v depois de percorrer \Delta x).
(b) Determinar o ganho de energia cinética devido à aceleração, e expressar essa energia em elétron-volts.

Passo 2

Fórmula que usamos para obter a velocidade final em movimento com aceleração constante.
Começamos das equações da cinemática com aceleração constante:
v = v_0 + a t
\Delta x = v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2
Eliminando o tempo t entre essas duas equações obtemos a relação útil
v^2 = v_0^2 + 2 a \Delta x.
Explicando as variáveis:
  • v é a velocidade final que queremos achar.
  • v_0 é a velocidade inicial conhecida.
  • a é a aceleração (constante).
  • \Delta x é o deslocamento ao longo do qual a aceleração atuou.
Essa fórmula é perfeita porque não exige o tempo, só usa as quantidades que temos.

Passo 3

Aplicando a fórmula v^2 = v_0^2 + 2 a \Delta x com os números dados. Vou calcular cada termo separadamente para ficar bem claro.
Calcular v_0^2:
v_0^2 = \left(2,60\times 10^{7}\right)^2 = 2,60^2\times 10^{14} = 6,76\times 10^{14}\\ \mathrm{m^2/s^2}.
Calcular 2 a \Delta x:
2 a \Delta x = 2\cdot\left(3,40\times 10^{15}\right)\cdot 0,0320 = 6,80\times 10^{15}\cdot 0,0320 = 2,176\times 10^{14}\\ \mathrm{m^2/s^2}.
Somando para obter v^2:
v^2 = 6,76\times 10^{14} + 2,176\times 10^{14} = 8,936\times 10^{14}\\ \mathrm{m^2/s^2}.
Agora a raiz quadrada para achar v:
v = \sqrt{8,936\times 10^{14}} = \sqrt{8,936}\times 10^{7}\\ \mathrm{m/s}.
\sqrt{8,936}\approx 2,989, então
v \approx 2,99\times 10^{7}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Verificação rápida da validade do tratamento não-relativístico.
Comparando com a velocidade da luz c\approx 3,00\times 10^{8}\\ \mathrm{m/s},
\frac{v}{c}\approx \frac{2,99\times 10^{7}}{3,00\times 10^{8}}\approx 0,10.
Como v é cerca de 10\% de c, os efeitos relativísticos são pequenos neste problema e o uso das fórmulas clássicas de cinemática e energia é aceitável (boa prática: se v fosse uma fração muito maior de c, haveria que usar fórmulas relativísticas).

Passo 5

Cálculo do ganho de energia cinética \Delta K.
Pelo teorema trabalho-energia, o trabalho da força resultante sobre o próton iguala a variação da energia cinética:
\Delta K = W = F\Delta x = (m a)\Delta x.
(Outra forma equivalente é \Delta K = \tfrac{1}{2}m(v^2-v_0^2); ambas dão o mesmo resultado.)
Calculemos \Delta K em joules usando m a \Delta x:
\Delta K = m a \Delta x = \left(1,67\times 10^{-27}\right)\left(3,40\times 10^{15}\right)\left(0,0320\right).
Faço em etapas:
m a = 1,67\times 10^{-27}\cdot 3,40\times 10^{15} = 5,678\times 10^{-12}\\ \mathrm{N}.
\Delta K = 5,678\times 10^{-12}\cdot 0,0320 = 1,81696\times 10^{-13}\\ \mathrm{J}.
Arredondando coerentemente com os dados:
\Delta K \approx 1,82\times 10^{-13}\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Converter a energia de joules para elétron-volts.
Usamos 1\\ \mathrm{eV} = 1,602176634\times 10^{-19}\\ \mathrm{J}. Então
\Delta K = \frac{1,81696\times 10^{-13}\\ \mathrm{J}}{1,602176634\times 10^{-19}\\ \mathrm{J/eV}} = \frac{1,81696}{1,602176634}\times 10^{6}\\ \mathrm{eV}.
\frac{1,81696}{1,602176634}\approx 1,1335,
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\Delta K \approx 1,13\times 10^{6}\\ \mathrm{eV} = 1,13\\ \mathrm{MeV}.

Resposta

(a) v \approx 2,99\times 10^{7}\\ \mathrm{m/s}\n
(b) \Delta K \approx 1,13\times 10^{6}\\ \mathrm{eV} (aprox. 1,13\\ \mathrm{MeV})

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