Resolva o problema de valor inicial.
t^2 d xd t+3 t x=t^4 ln t+1, x(1)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de primeira ordem
t^2,dxdt + 3t,x = t^4ln t + 1,
com condição inicial x(1)=0. O conteúdo é resolução de EDO linear usando fator integrante.

Passo 2

Dividimos toda a equação por t^2 (válido para tneq0) para obter a forma padrão
dxdt + 3t,x = t^2ln t + 1t^2
Aqui identificamos
P(t)=3t, Q(t)=t^2ln t + 1t^2

Passo 3

O fator integrante é
mu(t)=exp!l(integral P(t),dtr) =exp!l(integral 3t,dtr) =t^3
Multiplicando a EDO por t^3 reconhecemos o lado esquerdo como derivada de t^3x:
t^3dxdt + 3t^2x = ddtl(t^3xr)
Então a EDO vira
ddtl(t^3xr) = t^3l(t^2ln t + tfrac1t^2r) = t^5ln t + t

Passo 4

Integramos em t:
integral ddtl(t^3xr),dt = integrall(t^5ln t + tr),dt
Para integral t^5ln t,dt fazemos integração por partes com u=ln t, dv=t^5dt, obtendo
integral t^5ln t,dt = t^66ln t - 16integral t^5dt = t^66ln t - t^636
E
integral t,dt = t^22
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t^3x = t^66ln t ;-;t^636;+;t^22 + C

Passo 5

Usamos x(1)=0:
1^3cdot 0 = 1^66ln1 - 1^636 + 1^22 + C = 0 - 136 + 12 + C = 1736 + C,
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C = -1736

Passo 6

Substituindo C em t^3x e dividindo por t^3, temos
x(t) = 1t^3l(t^66ln t - t^636 + t^22 - 1736r) = t^36ln t - t^336 + 12t - 1736,t^3

Resposta

x(t)=t^36ln t ;-;t^336;+;12t;-;1736,t^3

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