Resolva o problema de valor inicial.
d yd x+4 y-e^-x=0, y(0)=43

Passo 1

O enunciado dá a EDO de primeira ordem linear
dydx + 4y - e^-x = 0,
com condição inicial y(0)=tfrac43.
O conteúdo é resolução de EDO linear usando fator integrante.

Passo 2

Escrevemos na forma padrão
dydx + 4y = e^-x
O fator integrante é
mu(x) = expl(integral 4,dxr) = e^4x
Multiplicando a EDO por mu(x) obtemos
e^4xdydx + 4e^4xy = e^4xe^-x = e^3x,
isto é
ddxl(e^4xyr) = e^3x

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddxl(e^4xyr),dx = integral e^3x,dx Longrightarrow e^4xy = 13e^3x + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Isolamos y:
y = 13e^3xe^-4x + Ce^-4x = 13e^-x + Ce^-4x
Aplicamos a condição inicial y(0)=tfrac43:
y(0) = 13 + C = 43 Longrightarrow C = 1

Passo 5

Substituindo C=1 na expressão de y, obtemos a solução particular
y(x) = 13e^-x + e^-4x

Resposta

y(x) = 13e^-x + e^-4x

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