Uma mola é deformada de
quando uma massa de 32 kg é nela dependurada lentamente. Determine a equação diferencial e a resposta do sistema, quando ele é puxado 4 cm abaixo da posição de equilíbrio e liberado com uma velocidade de
para cima. Adote positivo para baixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de mola e massa juntos! O que temos aqui é um sistema massa-mola que envolve conceitos de mecânica vibracional. A gente precisa descobrir a equação diferencial que descreve o movimento da massa na mola e, depois, encontrar a resposta do sistema, ou seja, como a massa vai se mover ao longo do tempo após ser puxada e solta. Para isso, vamos usar leis de física como a de Hooke e princípios de equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece quando você coloca uma massa na mola. A mola se deforma até atingir uma posição de equilíbrio onde a força da mola balanceia o peso da massa. A força exercida pela mola é dada pela Lei de Hooke:
Aqui, $ F $ é a força da mola, $ k $ é a constante da mola, e $ x $ é a deformação da mola.
Passo 3
Quando uma massa $ m $ é pendurada na mola, ela se deforma até a posição de equilíbrio. Nesse ponto, a força da mola iguala o peso da massa:
Vamos usar isso para encontrar a constante da mola $ k $. Sabemos que:
- $ x = 2,5 , cm = 0,025 , m $
- $ m = 32 , kg $
- $ g = 9,8 , m/s^2 $
Então:
Passo 4
Calculando $ k $:
Então, a constante da mola é aproximadamente $ 12.544 , N/m $.
Passo 5
Agora vamos montar a equação diferencial que descreve o movimento da massa. A força resultante na massa é a soma da força da mola e da força da inércia (segundo a segunda lei de Newton):
Substituindo $ k $:
Podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por 32:
Passo 6
Essa é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com solução harmônica, já que é do tipo $ \frac{d2x}{dt2} + \omega^2 x = 0 $, onde $ \omega $ é a frequência angular.
Aqui, $ \omega^2 = 0,392 $, então:
Passo 7
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ A $ e $ B $ são constantes que determinamos com as condições iniciais. As condições dadas são:
- A posição inicial é 4 cm abaixo do equilíbrio, então $ x(0) = 4 , cm = 0,04 , m $
- A velocidade inicial é 10 m/s para cima, então $ \frac{dx}{dt}\bigg|_{t=0} = -10 , m/s $ (negativo porque para cima é o sentido contrário ao positivo definido)
Passo 8
Vamos aplicar as condições iniciais na solução geral:
Para $ t = 0 $:
Para a velocidade, derivamos $ x(t) $:
Aplicando $ t = 0 $:
Passo 9
Agora temos todas as constantes, então a resposta do sistema é:
Resposta
A equação diferencial é:
E a resposta do sistema é: