Uma mola é deformada de 2,5 cm quando uma massa de 32 kg é nela dependurada lentamente. Determine a equação diferencial e a resposta do sistema, quando ele é puxado 4 cm abaixo da posição de equilíbrio e liberado com uma velocidade de 10 m / s para cima. Adote positivo para baixo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de mola e massa juntos! O que temos aqui é um sistema massa-mola que envolve conceitos de mecânica vibracional. A gente precisa descobrir a equação diferencial que descreve o movimento da massa na mola e, depois, encontrar a resposta do sistema, ou seja, como a massa vai se mover ao longo do tempo após ser puxada e solta. Para isso, vamos usar leis de física como a de Hooke e princípios de equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece quando você coloca uma massa na mola. A mola se deforma até atingir uma posição de equilíbrio onde a força da mola balanceia o peso da massa. A força exercida pela mola é dada pela Lei de Hooke:
F = -k x
Aqui, $ F $ é a força da mola, $ k $ é a constante da mola, e $ x $ é a deformação da mola.

Passo 3

Quando uma massa $ m $ é pendurada na mola, ela se deforma até a posição de equilíbrio. Nesse ponto, a força da mola iguala o peso da massa:
m
Vamos usar isso para encontrar a constante da mola $ k $. Sabemos que:
  • $ x = 2,5 , cm = 0,025 , m $
  • $ m = 32 , kg $
  • $ g = 9,8 , m/s^2 $
Então:
k x = m g

Passo 4

Calculando $ k $:
k
Então, a constante da mola é aproximadamente $ 12.544 , N/m $.

Passo 5

Agora vamos montar a equação diferencial que descreve o movimento da massa. A força resultante na massa é a soma da força da mola e da força da inércia (segundo a segunda lei de Newton):
m d^2xdt^2 + k x = 0
Substituindo $ k $:
k
Podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por 32:
32 d^2xdt^2 + 12.544 x = 0
d^2xdt^2 + 12.54432 x = 0

Passo 6

Essa é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com solução harmônica, já que é do tipo $ \frac{d2x}{dt2} + \omega^2 x = 0 $, onde $ \omega $ é a frequência angular.
Aqui, $ \omega^2 = 0,392 $, então:
d^2xdt^2 + omega^2 x = 0

Passo 7

A solução geral da equação diferencial é:
x(t) = A cos(omega t) + B sin(omega t)
Onde $ A $ e $ B $ são constantes que determinamos com as condições iniciais. As condições dadas são:
  • A posição inicial é 4 cm abaixo do equilíbrio, então $ x(0) = 4 , cm = 0,04 , m $
  • A velocidade inicial é 10 m/s para cima, então $ \frac{dx}{dt}\bigg|_{t=0} = -10 , m/s $ (negativo porque para cima é o sentido contrário ao positivo definido)

Passo 8

Vamos aplicar as condições iniciais na solução geral:
Para $ t = 0 $:
t = 0
x(0) = A cos(0) + B sin(0)
0,04 = A times 1 + B times 0
Para a velocidade, derivamos $ x(t) $:
A = 0,04
Aplicando $ t = 0 $:
x(t)
dxdt = -A omega sin(omega t) + B omega cos(omega t)
t = 0

Passo 9

Agora temos todas as constantes, então a resposta do sistema é:
x(t) = 0,04 cos(0,626 t) - 15,98 sin(0,626 t)

Resposta

A equação diferencial é:
d^2xdt^2 + 0,392,x = 0
E a resposta do sistema é:
x(t) = 0,04 cos(0,626, t) - 15,98 sin(0,626, t)

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