Um sistema possui massa m1 e rigidez k1 e freqüência natural de 14 Hz . A este sistema é adicionada uma massa m2 de 0,25 Kg e verifica-se que sua freqüência natural mudou para 10 Hz . Determine a massa m1 e a rigidez k1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos um sistema massa-mola com massa desconhecida f ;=;12pi,raizkm e rigidez . A primeira frequência natural é Hz. Aí a gente adiciona uma massa extra kg e vê que a nova frequência natural cai para Hz.
Conteúdo: vibrações de sistema massa-mola.
O que precisamos: a fórmula da frequência natural
e um pouquinho de álgebra pra isolar e .

Passo 2

Antes de colocar f1 ;=;12piraizk1m1 Longrightarrow k1 = m1,(2pi,f1)^2 , a frequência vale
f2 ;=;12piraizk1,m1+m2, Longrightarrow k1 = l(m1+m2r),(2pi,f2)^2
Depois de adicionar , a massa total vira e a frequência passa a ser

Passo 3

Como as duas expressões são iguais a m1,(2pi,f1)^2 ;=; l(m1+m2r),(2pi,f2)^2 , a gente banca a igualdade:
m1,f1^2 = l(m1+m2r),f2^2 ;;Longrightarrow;; m1l(f1^2-f2^2r) = m2,f2^2
Divide por m1 = m2,f2^2,f1^2-f2^2, = 0,25cdot 10^214^2-10^2 = 25196-100 = 2596 approx 0,2604;kg :
[
m_{1},f_{1}^{2}

\bigl(m_{1}+m_{2}\bigr),f_{2}^{2}
;;\Longrightarrow;;
m_{1}\bigl(f_{1}{2}-f_{2}{2}\bigr)
= m_{2},f_{2}^{2}.
]
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[
m_{1}

\frac{m_{2},f_{2}{2}}{,f_{1}{2}-f_{2}^{2},}
= \frac{0{,}25\cdot 10{2}}{14{2}-10^{2}}
= \frac{25}{196-100}
= \frac{25}{96}
\approx 0{,}2604;kg.
]

Passo 4

Agora calcula k1 = m1,(2pi,f1)^2 = 0,2604;l(2picdot14r)^2 approx 2,02times10^3;N/m , usando por exemplo

Resposta

kg
N/m

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