Uma mola é deformada de 2,5 \mathrm{~cm} quando uma massa de 32 kg é nela dependurada lentamente. Determine a equação diferencial e a resposta do sistema, quando ele é puxado 4 cm abaixo da posição de equilíbrio e liberado com uma velocidade de 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s} para cima. A massa está sujeita a uma força vertical \mathrm{F}=100 \cos (25 \mathrm{t}). Adote positivo para baixo.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema massa-mola com massa m=32\:\mathrm{kg}, deformação estática de 2,5\:\mathrm{cm} sob o peso mg, e força externa F(t)=100\cos(25t). Pedem (i) a equação diferencial do movimento medido a partir da posição de equilíbrio e (ii) a solução x(t) quando x(0)=4\:\mathrm{cm} para baixo e x'(0)=10\:\mathrm{m/s} para cima. Vamos usar Newton e resolver a EDO linear não homogênea de segunda ordem.

Passo 2

A constante da mola k vem do equilíbrio estático:
mg = k\,\Delta L
onde \Delta L=2,5\:\mathrm{cm}=0,025\:\mathrm{m}. Logo
k = \frac{32\cdot9,8}{0,025} = 12544\:\mathrm{N/m}.

Passo 3

Seja x(t) o deslocamento em relação à posição de equilíbrio (positivo para baixo). A força resultante é
m\,x'' = -k\,x + 100\cos(25t).
Reescrevendo em forma padrão,
32\,x'' + 12544\,x = 100\cos(25t).
Dividindo por 32,
x'' + 392\,x = 3,125\cos(25t).

Passo 4

A solução geral é x(t)=x_h(t)+x_p(t). Primeiro, a homogênea
x_h'' + 392\,x_h = 0
tem
x_h(t)=C_1\cos(\sqrt{392}\,t)+C_2\sin(\sqrt{392}\,t),
com \sqrt{392}=14\sqrt2.

Passo 5

Para uma solução particular, tomamos
x_p(t)=A\cos(25t)+B\sin(25t).
Substituindo em x''+392x=3,125\cos(25t) obtém-se
(-625+392)A\cos(25t)+(-625+392)B\sin(25t)=3,125\cos(25t),
isto é
-233A=3,125,\quad -233B=0
de onde
A=-\frac{3,125}{233},\quad B=0.
Logo
x_p(t)=-\frac{3,125}{233}\cos(25t).

Passo 6

A solução geral é
x(t)=C_1\cos(14\sqrt2\,t)+C_2\sin(14\sqrt2\,t)-\frac{3,125}{233}\cos(25t).

Passo 7

Impondo as condições iniciais:
x(0)=C_1-\frac{3,125}{233}=0,04\quad(\mathrm{m}),\quad x'(0)=14\sqrt2\,C_2=-10\quad(\mathrm{m/s}),
pois a liberação para cima dá velocidade negativa em x. Assim
C_1=0,04+\frac{3,125}{233},\quad C_2=-\frac{10}{14\sqrt2}.

Resposta

Equação diferencial:
x''+392\,x=3,125\cos(25t).
Solução com as condições dadas:
x(t)=\Bigl(0,04+\frac{3,125}{233}\Bigr)\cos(14\sqrt2\,t) -\frac{10}{14\sqrt2}\sin(14\sqrt2\,t) -\frac{3,125}{233}\cos(25t).

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