Uma mola é deformada de
quando uma massa de 32 kg é nela dependurada lentamente. Determine a equação diferencial e a resposta do sistema, quando ele é puxado 4 cm abaixo da posição de equilíbrio e liberado com uma velocidade de
para cima. A massa está sujeita a uma força vertical
. Adote positivo para baixo.
Passo 1
O enunciado descreve um sistema massa-mola com massa
, deformação estática de
sob o peso
, e força externa
. Pedem (i) a equação diferencial do movimento medido a partir da posição de equilíbrio e (ii) a solução
quando
para baixo e
para cima. Vamos usar Newton e resolver a EDO linear não homogênea de segunda ordem.
Passo 2
A constante da mola
vem do equilíbrio estático:
onde
. Logo
Passo 3
Seja
o deslocamento em relação à posição de equilíbrio (positivo para baixo). A força resultante é
Reescrevendo em forma padrão,
Dividindo por
,
Passo 4
A solução geral é
. Primeiro, a homogênea
tem
com
.
Passo 5
Para uma solução particular, tomamos
Substituindo em
obtém-se
isto é
de onde
Logo
Passo 6
A solução geral é
Passo 7
Impondo as condições iniciais:
pois a liberação para cima dá velocidade negativa em
. Assim
Resposta
Equação diferencial:
Solução com as condições dadas: