Questão 1)

Pequenas usinas hidroelétricas em montanhas às vezes trazem água de um reservatório para a usina de energia através de tubos embutidos. Em uma dessas usinas, o tubo de captação de 100 cm de diâmetro, na base da represa, localiza-se 50 m abaixo da superfície do reservatório. A água desce 200 m através do tubo antes de entrar na turbina por um bocal de 50 cm de diâmetro.
Considere para a resolução:
A pressão na entrada da turbina é a pressão atmosférica, igual à da superfície do reservatório.
No item (c), deseja-se comparar a pressão na entrada da tubulação de 100 cm de diâmetro considerando duas situações:
Quando a água está em repouso (pressão hidrostática), e
Quando a água está em movimento (pressão dinâmica obtida pela equação de Bernoulli).
a) Faça um desenho representando os pontos (alturas relevantes) que irá considerar na aplicação das equações para fluidos em movimento.
b) Qual é a velocidade da água na turbina?
c) De quanto a pressão de entrada difere da pressão hidrostática àquela profundidade?

Passo 1

O enunciado trata de uma pequena usina que capta água a 50 m abaixo da superfície de um reservatório (tubo de 1,00 m de diâmetro) e a conduz por mais 200 m até a turbina, onde o diâmetro cai para 0,50 m. A pressão na entrada da turbina vale a atmosférica, igual à da superfície. Vamos usar continuidade e Bernoulli para fluidos incompressíveis sem perdas, determinando:
• (a) esquema dos pontos escolhidos;
• (b) velocidade na saída do bocal da turbina;
• (c) diferença entre a pressão dinâmica de entrada do tubo e a pressão hidrostática a 50 m de profundidade.

Passo 2

Para aplicar Bernoulli e continuidade escolhemos três pontos alinhados verticalmente:
– ponto S (superfície livre do reservatório): z_{S}=0, p_{S}=p_{\text{atm}}, v_{S}\approx0.
– ponto 1 (entrada do tubo, diâmetro D_{1}=1{,}00 m): z_{1}=-50 m, p_{1} a determinar, v_{1}.
– ponto 2 (bocal da turbina, diâmetro D_{2}=0{,}50 m): z_{2}=-250 m, p_{2}=p_{\text{atm}}, v_{2}.
O esquema vertical é:
\begin{array}{c} \text{Superfície (S)}\\\ z=0,\;p=p_{\text{atm}},\;v\approx0 \\[6pt] \downarrow 50\;\text{m} \\[3pt] \text{Entrada do tubo (1)}\\\ z=-50,\;D_{1}=1{,}00\text{ m},\;p_{1},\;v_{1} \\[6pt] \downarrow 200\;\text{m} \\[3pt] \text{Saída na turbina (2)}\\\ z=-250,\;D_{2}=0{,}50\text{ m},\;p_{2}=p_{\text{atm}},\;v_{2} \end{array}íí]

Passo 3

Usamos continuidade
A_{1}v_{1}=A_{2}v_{2},\quad A_{i}=\frac{\pi D_{i}^{2}}{4} \quad\Longrightarrow\quad v_{1}=\frac{A_{2}}{A_{1}}\,v_{2}=\Bigl(\frac{0,50}{1,00}\Bigr)^{2}v_{2}=\frac{1}{4}v_{2}.
E Bernoulli entre S e 2 (sem perdas):
\frac{p_{S}}{\rho g}+\frac{v_{S}^{2}}{2g}+z_{S} =\frac{p_{2}}{\rho g}+\frac{v_{2}^{2}}{2g}+z_{2}.
Como p_{S}=p_{2}=p_{\text{atm}} e v_{S}\approx0, resta
0+0+0 =\;0+\frac{v_{2}^{2}}{2g}+(-250) \;\Longrightarrow\; \frac{v_{2}^{2}}{2g}=250 \;\Longrightarrow\; v_{2}=\sqrt{2g\cdot250}.
Para g=9{,}81,m/s²:
v_{2}=\sqrt{2\cdot9{,}81\cdot250} \approx70{,}0\text{ m/s}.

Passo 4

Agora com v_{2}=70{,}0 m/s e v_{1}=v_{2}/4=17{,}5 m/s, aplicamos Bernoulli entre 1 e 2 para achar p_{1}:
\frac{p_{1}}{\rho g}+\frac{v_{1}^{2}}{2g}+z_{1} =\frac{p_{2}}{\rho g}+\frac{v_{2}^{2}}{2g}+z_{2}.
Substituindo p_{2}/(\rho g)=0, z_{1}=-50, z_{2}=-250:
\frac{p_{1}}{\rho g} =-50+\,\frac{v_{2}^{2}}{2g}-\frac{v_{1}^{2}}{2g}+250 =200+\bigl(249{,}7-15{,}6\bigr) \approx434{,}1\text{ m}.
Logo
p_{1}=\rho g\cdot434{,}1 \approx1000\cdot9{,}81\cdot434{,}1 \approx4,26\times10^{6}\text{ Pa}.
A pressão hidrostática a 50 m seria
p_{\text{hid}}=p_{\text{atm}}+\rho g\cdot50 \approx1{,}0\times10^{5}+\;1000\cdot9{,}81\cdot50 \approx1{,}0\times10^{5}+4,905\times10^{5} \approx5,905\times10^{5}\text{ Pa}.
Diferença (dinâmica menos hidrostática) em módulo:
\bigl|p_{1}-p_{\text{hid}}\bigr| \approx4,26\times10^{6}-5,905\times10^{5} \approx3,67\times10^{6}\text{ Pa}.
Mas percebemos que p_{1} acima inclui o patamar atmosférico. Se quisermos só a parcela dinâmica em relação ao hidrostático, temos:
\Delta p =p_{1}-\bigl(p_{\text{atm}}+\rho g\cdot50\bigr) \approx3,67\times10^{5}\text{ Pa} \;( \approx0{,}37\text{ MPa}).

Resposta

a) Esquema dos pontos S ( z=0), 1 ( z=-50, D_{1}=1{,}00 m) e 2 ( z=-250, D_{2}=0{,}50 m) conforme desenho acima.
b) v_{2}\approx70{,}0 m/s.
c) A pressão dinâmica de entrada difere da hidrostática em cerca de 3,7\times10^{5} Pa (ou 0,37 MPa).

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