[valor 2.0] Quais seriam as formas extensivas e intensivas para o trabalho externo reversível de inserção de uma espécie química " X " em um compartimento em função de sua concentração. Justifique a resposta.

Passo 1

O enunciado pede as expressões extensiva e intensiva do trabalho externo reversível de inserção da espécie química X em um compartimento, em função de sua concentração c_X. Vamos recorrer à definição de trabalho termodinâmico para partículas e ao conceito de potencial químico.

Passo 2

Em termodinâmica o trabalho reversível associado à troca de matéria X é dado, em forma diferencial, por
\delta W_{\text{ext,rev}} = \mu_X\,\mathrm{d}N_X
onde \mu_X é o potencial químico (intensivo) e N_X a quantidade de matéria de X (extensiva). Essa é a forma diferencial extensiva do trabalho.

Passo 3

Se inserimos N_X moles de X mantendo a concentração constante em c_X, o potencial químico \mu_X(c_X) é constante e podemos integrar:
W_{\text{ext,rev}} =\int_{0}^{N_X}\mu_X(c_X)\,\mathrm{d}N =\mu_X(c_X)\,N_X.
Essa é a forma extensiva do trabalho, pois cresce com N_X.

Passo 4

A forma intensiva do trabalho é o trabalho por mol de X inserido, ou seja
w_{\text{ext,rev}} =\frac{W_{\text{ext,rev}}}{N_X} =\mu_X(c_X).
Note que \mu_X é uma função de c_X e independe do valor de N_X.

Passo 5

Em solução ideal (ou fase gasosa diluída) o potencial químico varia com a concentração conforme
\mu_X(c_X)=\mu_X^0 + RT\ln\!\biggl(\frac{c_X}{c^0}\biggr),
onde \mu_X^0 e c^0 são referência. Assim, explicitamente,
W_{\text{ext,rev}} = N_X\Bigl[\mu_X^0 + RT\ln\!\bigl(\tfrac{c_X}{c^0}\bigr)\Bigr], \quad w_{\text{ext,rev}} =\mu_X^0 + RT\ln\!\bigl(\tfrac{c_X}{c^0}\bigr).

Resposta

Forma extensiva:
W_{\text{ext,rev}}=\mu_X(c_X)\,N_X.
Forma intensiva:
w_{\text{ext,rev}}=\frac{W_{\text{ext,rev}}}{N_X}=\mu_X(c_X) =\mu_X^0 + RT\ln\!\Bigl(\frac{c_X}{c^0}\Bigr).

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