Uma partícula de massa
se movimenta em duas dimensões sob a ação da força
onde
e
são constantes positivas. Determine o trabalho
realizado pela força
quando a partícula se movimenta ao longo de uma linha reta da origem do sistema de coordenadas até a posição
, onde
é uma constante positiva.
Passo 1
O enunciado dá a força em coordenadas cartesianas e pede o trabalho realizado ao mover a partícula da origem até
. Dados relevantes:
- Força:
, onde e são constantes positivas. - Trajetória: uma linha reta de
até , pois . - Constantes:
, , .
O que se pede: calcular o trabalhorealizado por ao longo dessa linha reta.
Passo 2
Lembrete do conceito que vamos usar (explicado passo a passo). O trabalho realizado por uma força ao longo de uma curva
é o integral de linha
Aqui
e
. Em parametrização
,
,
, temos
e assim a fórmula prática que usaremos é
Interpretação: multiplicamos componente da força pela pequena deslocamento naquela direção e somamos (isso é o produto escalar), e integramos ao longo do percurso.
Passo 3
Verificação rápida sobre conservatividade (por que não usamos apenas uma potencial?). Calcular a componente do rotor na direção
:
Como isso não é identicamente zero para todo
(a menos que
, caso particular), a força
é, em geral, não conservativa. Logo o trabalho depende da trajetória e é correto calcular o integral ao longo da reta dada.
Passo 4
Escolha da parametrização da reta (muito simples). Para a linha reta do ponto
até
uma parametrização conveniente é
Aqui
corresponde à origem e
ao ponto
. As derivadas são
portanto
e
.
Passo 5
Substituir a parametrização em
. Calculamos as componentes em função de
:
Passo 6
Montar o integrando
e integrar. Temos
Somando as componentes:
Logo
Integrando de
a
: