Uma partícula de massa m se movimenta em duas dimensões sob a ação da força
\mathbf{F}=\left(a x^{2}+b y^{2}\right) \hat{x}+(a x y) \hat{y}
onde a e b são constantes positivas. Determine o trabalho W realizado pela força \mathbf{F} quando a partícula se movimenta ao longo de uma linha reta da origem do sistema de coordenadas até a posição \mathbf{r}=c(\hat{x}+\hat{y}), onde c é uma constante positiva.

Passo 1

O enunciado dá a força em coordenadas cartesianas e pede o trabalho realizado ao mover a partícula da origem até \mathbf{r}=c(\hat{x}+\hat{y}). Dados relevantes:
  • Força: \mathbf{F}=\left(a x^{2}+b y^{2}\right)\hat{x}+(a x y)\hat{y}, onde a e b são constantes positivas.
  • Trajetória: uma linha reta de (0,0) até \bigl(c,c\bigr), pois \mathbf{r}=c(\hat{x}+\hat{y}).
  • Constantes: a>0, b>0, c>0.
    O que se pede: calcular o trabalho W realizado por \mathbf{F} ao longo dessa linha reta.

Passo 2

Lembrete do conceito que vamos usar (explicado passo a passo). O trabalho realizado por uma força ao longo de uma curva C é o integral de linha
W=\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.
Aqui \mathbf{F}=(F_x,F_y) e d\mathbf{r}=(dx,dy). Em parametrização x=x(t), y=y(t), t\in[t_1,t_2], temos
d\mathbf{r}=(x'(t),y'(t))\,dt
e assim a fórmula prática que usaremos é
W=\int_{t_1}^{t_2}\bigl(F_x(x(t),y(t))\,x'(t)+F_y(x(t),y(t))\,y'(t)\bigr)\,dt.
Interpretação: multiplicamos componente da força pela pequena deslocamento naquela direção e somamos (isso é o produto escalar), e integramos ao longo do percurso.

Passo 3

Verificação rápida sobre conservatividade (por que não usamos apenas uma potencial?). Calcular a componente do rotor na direção z:
\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y} = \frac{\partial (a x y)}{\partial x}-\frac{\partial (a x^{2}+b y^{2})}{\partial y} = a y - 2b y = y(a-2b).
Como isso não é identicamente zero para todo (x,y) (a menos que a=2b, caso particular), a força \mathbf{F} é, em geral, não conservativa. Logo o trabalho depende da trajetória e é correto calcular o integral ao longo da reta dada.

Passo 4

Escolha da parametrização da reta (muito simples). Para a linha reta do ponto (0,0) até (c,c) uma parametrização conveniente é
x(t)=c t,\qquad y(t)=c t,\qquad t\in[0,1].
Aqui t=0 corresponde à origem e t=1 ao ponto (c,c). As derivadas são
x'(t)=c,\qquad y'(t)=c,
portanto dx=c\,dt e dy=c\,dt.

Passo 5

Substituir a parametrização em \mathbf{F}. Calculamos as componentes em função de t:
F_x(x(t),y(t))=a x(t)^{2}+b y(t)^{2}=a(c t)^{2}+b(c t)^{2}=c^{2}t^{2}(a+b),
F_y(x(t),y(t))=a x(t)y(t)=a(c t)(c t)=a c^{2}t^{2}.

Passo 6

Montar o integrando \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} e integrar. Temos
\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=F_x\,dx+F_y\,dy =F_x\bigl(c\,dt\bigr)+F_y\bigl(c\,dt\bigr) =c\bigl(F_x+F_y\bigr)\,dt.
Somando as componentes:
F_x+F_y=c^{2}t^{2}\bigl((a+b)+a\bigr)=c^{2}t^{2}(2a+b).
Logo
\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=c\cdot c^{2}t^{2}(2a+b)\,dt=c^{3}(2a+b)\,t^{2}\,dt.
Integrando de t=0 a t=1:
W=\int_{0}^{1}c^{3}(2a+b)\,t^{2}\,dt =c^{3}(2a+b)\int_{0}^{1}t^{2}\,dt =c^{3}(2a+b)\left[\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{1} =\frac{c^{3}(2a+b)}{3}.

Resposta

\dfrac{c^{3}(2a+b)}{3}

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