Quando um projétil é disparado em uma arma no instante
, a força devido à explosão atua sobre ele por um período muito curto de tempo. Suponha que o módulo da força seja dado, para
, por
e que ela atue até o instante
em que a força se anula,
. Aqui
e
são constantes. Se o projétil tem massa
, sua velocidade imediatamente após
é:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede a velocidade do projétil imediatamente após
:
- Para
, o módulo da força que atua sobre o projétil é
onde
e
são constantes.
- A força atua até
, definido por . - A massa do projétil é
. - Pergunta: qual é a velocidade do projétil imediatamente após
(ou seja, )?
Observação necessária (implícita no enunciado típico): assumir que a velocidade inicial do projétil em
é
(projétil em repouso antes da explosão dentro do cano). Vou usar essa hipótese para calcular a variação de quantidade de movimento.
Passo 2
Encontrar
resolvendo
.
Começo da equação:
Isolando
:
Como
, obtemos
Passo 3
Explicar a relação que vou usar (impulso-momento).
O impulso
é a integral da força no tempo e está ligado à variação da quantidade de movimento (teorema impulso-momento):
Aqui
é a quantidade de movimento (
). As unidades:
em newtons (
), tempo em segundos, então
tem unidades
, que equivalem a
— as mesmas da quantidade de movimento.
No nosso caso,
,
, e assumimos
. Portanto
Logo a velocidade procurada será
Passo 4
Calcular a integral do impulso:
Integro termo a termo:
Portanto
Passo 5
Substituir
na expressão do impulso e simplificar.
Calcule
:
Substituindo na integral:
Simplificar cada termo: note que
Assim
Agora usar
para obter a velocidade:
Passo 6
Colocar a resposta final numa forma clara e interpretável. Podemos reescrever como
ou, equivalentemente,