Quando um projétil é disparado em uma arma no instante t=0, a força devido à explosão atua sobre ele por um período muito curto de tempo. Suponha que o módulo da força seja dado, para t \geq 0, por
F(t)=k_{1}-k_{2} t^{2}
e que ela atue até o instante t=t_{f} em que a força se anula, F\left(t_{f}\right)=0. Aqui k_{1} e k_{2} são constantes. Se o projétil tem massa m, sua velocidade imediatamente após t_{f} é:

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a velocidade do projétil imediatamente após t_f:
  • Para t\ge 0, o módulo da força que atua sobre o projétil é F(t)=k_{1}-k_{2}t^{2},
onde k_{1} e k_{2} são constantes.
  • A força atua até t=t_{f}, definido por F\left(t_{f}\right)=0.
  • A massa do projétil é m.
  • Pergunta: qual é a velocidade do projétil imediatamente após t_{f} (ou seja, v(t_{f}))?
Observação necessária (implícita no enunciado típico): assumir que a velocidade inicial do projétil em t=0 é 0 (projétil em repouso antes da explosão dentro do cano). Vou usar essa hipótese para calcular a variação de quantidade de movimento.

Passo 2

Encontrar t_{f} resolvendo F(t_{f})=0.
Começo da equação:
k_{1}-k_{2}t_{f}^{2}=0.
Isolando t_{f}^{2}:
t_{f}^{2}=\frac{k_{1}}{k_{2}}.
Como t_{f}\ge 0, obtemos
t_{f}=\sqrt{\frac{k_{1}}{k_{2}}}.

Passo 3

Explicar a relação que vou usar (impulso-momento).
O impulso I é a integral da força no tempo e está ligado à variação da quantidade de movimento (teorema impulso-momento):
I=\int_{t_0}^{t_1} F(t)\,dt = \Delta p = m v(t_1)- m v(t_0).
Aqui p é a quantidade de movimento ( p= m v). As unidades: F em newtons ( \mathrm{N}), tempo em segundos, então I tem unidades \mathrm{N\cdot s}, que equivalem a \mathrm{kg\cdot m/s} — as mesmas da quantidade de movimento.
No nosso caso, t_0=0, t_1=t_{f}, e assumimos v(0)=0. Portanto
m v(t_{f})=\int_{0}^{t_{f}}F(t)\,dt.
Logo a velocidade procurada será
v(t_{f})=\frac{1}{m}\int_{0}^{t_{f}}F(t)\,dt.

Passo 4

Calcular a integral do impulso:
\int_{0}^{t_{f}}F(t)\,dt=\int_{0}^{t_{f}}\!\bigl(k_{1}-k_{2}t^{2}\bigr)\,dt.
Integro termo a termo:
\int_{0}^{t_{f}}k_{1}\,dt = k_{1}t_{f}, \qquad \int_{0}^{t_{f}}k_{2}t^{2}\,dt = k_{2}\,\frac{t_{f}^{3}}{3}.
Portanto
\int_{0}^{t_{f}}F(t)\,dt = k_{1}t_{f}-\frac{k_{2}}{3}t_{f}^{3}.

Passo 5

Substituir t_{f}=\sqrt{\dfrac{k_{1}}{k_{2}}} na expressão do impulso e simplificar.
Calcule t_{f}^{3}:
t_{f}^{3}=\left(\sqrt{\frac{k_{1}}{k_{2}}}\right)^{3}=\frac{k_{1}^{3/2}}{k_{2}^{3/2}}.
Substituindo na integral:
\int_{0}^{t_{f}}F(t)\,dt = k_{1}\sqrt{\frac{k_{1}}{k_{2}}} - \frac{k_{2}}{3}\cdot\frac{k_{1}^{3/2}}{k_{2}^{3/2}}.
Simplificar cada termo: note que
k_{1}\sqrt{\frac{k_{1}}{k_{2}}}=\frac{k_{1}^{3/2}}{k_{2}^{1/2}} \qquad\text{e}\qquad \frac{k_{2}}{3}\cdot\frac{k_{1}^{3/2}}{k_{2}^{3/2}}=\frac{1}{3}\frac{k_{1}^{3/2}}{k_{2}^{1/2}}.
Assim
\int_{0}^{t_{f}}F(t)\,dt = \frac{k_{1}^{3/2}}{k_{2}^{1/2}}-\frac{1}{3}\frac{k_{1}^{3/2}}{k_{2}^{1/2}} = \frac{2}{3}\frac{k_{1}^{3/2}}{k_{2}^{1/2}}.
Agora usar v(t_{f})=\dfrac{1}{m}\int_{0}^{t_{f}}F(t)\,dt para obter a velocidade:
v(t_{f})=\frac{1}{m}\cdot\frac{2}{3}\frac{k_{1}^{3/2}}{k_{2}^{1/2}}.

Passo 6

Colocar a resposta final numa forma clara e interpretável. Podemos reescrever como
v(t_{f})=\frac{2}{3m}\,\frac{k_{1}^{3/2}}{k_{2}^{1/2}}
ou, equivalentemente,
v(t_{f})=\frac{2}{3m}\,k_{1}\sqrt{\frac{k_{1}}{k_{2}}}.

Resposta

v(t_{f})=\frac{2}{3m}\,\frac{k_{1}^{3/2}}{k_{2}^{1/2}}

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