Uma mola de massa desprezível está pendurada em um teto com um pequeno objeto preso à extremidade inferior. O objeto é inicialmente mantido em repouso em uma posição y_{i} tal que a mola se encontra no estado relaxado. Em seguida, o objeto é liberado e passa a oscilar para cima e para baixo, com a posição mais baixa 10 cm abaixo de y_{i}. (a) Qual é a freqüência das oscilações? (b) Qual é a velocidade do objeto quando se encontra 8,0 \mathrm{~cm} abaixo da posição inicial? (c) Um objeto de massa 300 g é preso ao primeiro objeto, após o que o sistema passa a oscilar com metade da freqüência original. Qual é a massa do primeiro objeto? (d) A que distância abaixo de y_{i} está a nova posição de equilíbrio (repouso), com os dois objetos presos à mola?

Passo 1

O enunciado descreve uma massa de massa m presa a uma mola de constante elástica k, solta a partir da posição em que a mola está no comprimento natural y_{i}. A massa oscila com posição mais baixa 10\:\mathrm{cm} abaixo de y_{i}.
Conteúdo: oscilações harmônicas simples. Vamos precisar de
  1. equilíbrio estático da mola: mg = k\,y_{\mathrm{eq}},
  2. frequência \omega=\sqrt{k/m},
  3. conservação de energia para velocidade,
  4. efeito de massa adicional sobre \omega e posição de equilíbrio.

Passo 2

Determinar a extensão de equilíbrio y_{\mathrm{eq}}.
Quando solta em y=0 (repouso em comprimento natural) a massa desce até o ponto mais baixo y_{\max}=10\:\mathrm{cm}. Em oscilações em torno de y_{\mathrm{eq}}, a amplitude é A=y_{\mathrm{eq}} e o ponto mais baixo é
y_{\max}=y_{\mathrm{eq}}+A=2\,y_{\mathrm{eq}}\,.
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2\,y_{\mathrm{eq}}=0,10\:\mathrm{m} \quad\Rightarrow\quad y_{\mathrm{eq}}=0,05\:\mathrm{m}\,.
Do equilíbrio estático mg=k\,y_{\mathrm{eq}} vem
\frac{k}{m}=\frac{g}{y_{\mathrm{eq}}}=\frac{9,8}{0,05}=196\:\mathrm{s^{-2}}.
Assim a frequência angular é
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{196}=14\:\mathrm{rad/s},
e a frequência (ciclos por segundo) é
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{14}{2\pi}\approx2,23\:\mathrm{Hz}.

Passo 3

Calcular a velocidade quando y=8{,}0\:\mathrm{cm}=0,08\:\mathrm{m}.
Pela conservação da energia mecânica:
\frac12\,k\,A^2 = \tfrac12\,k\,y^2 + \tfrac12\,m\,v^2.
Isolando v:
v = \omega\,\sqrt{A^2 - y^2} =14\,\sqrt{(0,10)^2-(0,08)^2} =14\,\sqrt{0,01-0,0064} =14\times0,06 =0,84\:\mathrm{m/s}.

Passo 4

Determinar a massa m original sabendo que, ao prender mais 0,30\:\mathrm{kg}, a nova frequência é a metade da original.
Nova frequência angular
\omega'=\sqrt{\frac{k}{m+0,30}} = \frac{\omega}{2} = \frac{1}{2}\,\sqrt{\frac{k}{m}}.
Quadrando e simplificando k:
\frac{1}{m+0,30} = \frac{1}{4\,m} \quad\Rightarrow\quad m+0,30 =4\,m \quad\Rightarrow\quad 3\,m=0,30 \quad\Rightarrow\quad m=0,10\:\mathrm{kg}.

Passo 5

Calcular a nova posição de equilíbrio y_{\mathrm{eq}}' com as duas massas.
y_{\mathrm{eq}}' = \frac{(m+0,30)\,g}{k}.
Como mg/k=y_{\mathrm{eq}}=0,05\:\mathrm{m} e m=0,10\:\mathrm{kg}, temos
\frac{g}{k}=\frac{y_{\mathrm{eq}}}{m}=\frac{0,05}{0,10}=0,50\:\mathrm{m/kg},
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y_{\mathrm{eq}}'=(0,10+0,30)\times0,50 =0,40\times0,50 =0,20\:\mathrm{m}.

Resposta

(a) f\approx2,23\:\mathrm{Hz}
(b) v=0,84\:\mathrm{m/s}
(c) m=0,10\:\mathrm{kg}
(d) y_{\mathrm{eq}}'=0,20\:\mathrm{m} (20 cm abaixo de y_{i})

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