Uma mola com uma massa de 4 kg tem comprimento natural de
. Uma força de
é necessária para mantê-la esticada até um comprimento de
. Se a mola é esticada até um comprimento de
e, em seguida, libertada com uma velocidade inicial 0 , encontre a posição da massa em qualquer momento t .
Passo 1
Vamos lá! O problema fala sobre uma mola de 4 kg com comprimento natural de 0,5 metros. Para esticá-la até 0,7 metros, precisamos aplicar uma força de 51,2 N. Depois de esticada, a mola é liberada sem velocidade inicial, e queremos encontrar a posição da massa em qualquer momento $ t $. Esse exercício envolve conceitos de Lei de Hooke e Movimento Harmônico Simples (MHS). Vamos precisar calcular a constante da mola, a frequência angular e usar as equações do MHS para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a constante da mola ($ k
F
\Delta L $):
Aqui, a força aplicada é de 51,2 N e a deformação é a diferença entre o comprimento esticado e o comprimento natural:
Então, substituindo os valores:
Resolvendo para $ k $:
Passo 3
Agora, vamos determinar a frequência angular ($ \omega
m $) pela fórmula:
Substituindo os valores que temos:
Passo 4
Com a frequência angular conhecida, podemos escrever a equação do Movimento Harmônico Simples (MHS) para a posição da massa em função do tempo ($ t $):
Sabemos que a mola foi esticada até 0,7 m, o que significa que a posição inicial ($ x_0 $) é 0,2 m (pois $ 0,7,m - 0,5,m = 0,2,m
v_0 $) é 0. Aplicando as condições iniciais:
- Quando $ t = 0 $:
- A velocidade inicial $ v(0) = 0 $, e derivando $ x(t) $:
Então, a equação simplifica para:
Resposta
A posição da massa em qualquer momento $ t $ é dada por: