Seja
. Calcule
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de duas variáveis, $ f(x, y) = x^{2} y - x y^{3} $, e precisa calcular o gradiente dela no ponto $ (2,1) $. Isso envolve conceito de derivadas parciais e o gradiente, que é basicamente um vetor com essas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função $ f(x, y) $ é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é formado pelas derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $. Ou seja,
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, denotada por $ \frac{\partial f}{\partial x} $. Para isso, tratamos $ y $ como uma constante:
Derivando em relação a $ x $:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, denotada por $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Aqui, $ x $ é tratado como uma constante:
Derivando em relação a $ y $:
Passo 5
Com as derivadas parciais encontradas, vamos formar o vetor gradiente:
Passo 6
Agora, substituímos $ x = 2 $ e $ y = 1 $ nas expressões das derivadas parciais para encontrar $ \nabla f(2,1) $:
Para $ \frac{\partial f}{\partial x} $:
Para $ \frac{\partial f}{\partial y} $:
Resposta
Portanto, o gradiente de $ f $ no ponto $ (2,1) $ é: