- Um bloco de massa
está apoiado sobre um plano inclinado liso que forma um ângulo de
a horizontal, conforme indicado abaixo. Este corpo é ligado a outro de massa
através de um fio ideal que passa por uma roldana sem atrito. Considere
. (a) Calcule a aceleração de cada corpo. tração no fio.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a aceleração de cada corpo e a tração no fio, sabendo que:
está sobre um plano inclinado liso que faz
com a horizontal,
está pendurado por um fio passando por uma roldana sem atrito, o fio é ideal (inextensível) e não há atrito no plano. Vou assumir
. As perguntas são: (a) qual a aceleração de cada corpo? (b) qual a tração no fio?
Passo 2
Escolha de sinais e observação importante sobre acelerações: como o fio é inextensível, os corpos têm acelerações de mesma magnitude
. Vou tomar como positiva a direção para baixo do bloco
(isto é, para baixo da árvore) e, consequentemente, para cima do plano no bloco
. Assim, se
desce,
sobe o plano; se
sobe,
desce. Neste caso, pela comparação rápida dos pesos,
tende a puxar o sistema para baixo (mas vamos confirmar por cálculo).
Passo 3
Forças atuantes e escrita das equações de Newton (passo a passo e explicando as fórmulas):
- Para
(sobre o plano): as forças ao longo do plano são a tração (para cima do plano) e a componente do peso paralela ao plano (para baixo do plano). Pela segunda lei de Newton, a soma das forças na direção escolhida é massa vezes aceleração. Como escolhemos positivo para cima do plano:
Explanação: aqui
e
são as componentes de força ao longo do eixo;
é a massa vezes a aceleração ao longo desse eixo.
- Para
(pendurado): as forças verticais são o peso para baixo e a tração para cima. Tomando positivo para baixo (mesma convenção usada anteriormente):
Explanação: a diferença entre peso e tração dá a força líquida que acelera
.
Passo 4
Eliminação de
e obtenção da fórmula para
: somamos as duas equações para cancelar
:
Os
se cancelam, ficando
Isolando
:
Explicação: esta expressão mostra que a aceleração é proporcional à diferença entre o peso efetivo de
e a componente do peso de
ao longo do plano, e é dividida pela massa total que precisa ser acelerada.
Passo 5
Substituição dos valores numéricos para calcular
. Primeiro calcule
:
Agora o numerador:
Multiplicando por
:
Denominador:
Portanto
Interpretação: como
pelo nosso sinal, isso confirma que
desce e
sobe o plano com aceleração de
.
Passo 6
Cálculo da tração
. Podemos usar qualquer uma das equações iniciais; uso a de
:
Substituindo números:
Verificação rápida usando a equação de
:
o que confirma consistência.