1. Um bloco de massa m_{1}=50 \mathrm{~kg} está apoiado sobre um plano inclinado liso que forma um ângulo de 30^{\circ} \mathrm{com} a horizontal, conforme indicado abaixo. Este corpo é ligado a outro de massa m_{2} através de um fio ideal que passa por uma roldana sem atrito. Considere m_{2}=30 \mathrm{~kg}. (a) Calcule a aceleração de cada corpo. tração no fio.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a aceleração de cada corpo e a tração no fio, sabendo que: \,m_{1}=50\\ \mathrm{kg} está sobre um plano inclinado liso que faz \,30^\circ com a horizontal, \,m_{2}=30\\ \mathrm{kg} está pendurado por um fio passando por uma roldana sem atrito, o fio é ideal (inextensível) e não há atrito no plano. Vou assumir g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}. As perguntas são: (a) qual a aceleração de cada corpo? (b) qual a tração no fio?

Passo 2

Escolha de sinais e observação importante sobre acelerações: como o fio é inextensível, os corpos têm acelerações de mesma magnitude a. Vou tomar como positiva a direção para baixo do bloco m_2 (isto é, para baixo da árvore) e, consequentemente, para cima do plano no bloco m_1. Assim, se m_2 desce, m_1 sobe o plano; se m_2 sobe, m_1 desce. Neste caso, pela comparação rápida dos pesos, m_2 g tende a puxar o sistema para baixo (mas vamos confirmar por cálculo).

Passo 3

Forças atuantes e escrita das equações de Newton (passo a passo e explicando as fórmulas):
  • Para m_1 (sobre o plano): as forças ao longo do plano são a tração T (para cima do plano) e a componente do peso paralela ao plano m_1 g\sin 30^\circ (para baixo do plano). Pela segunda lei de Newton, a soma das forças na direção escolhida é massa vezes aceleração. Como escolhemos positivo para cima do plano:
T - m_1 g \sin 30^\circ = m_1 a.
Explanação: aqui T e m_1 g\sin30^\circ são as componentes de força ao longo do eixo; m_1 a é a massa vezes a aceleração ao longo desse eixo.
  • Para m_2 (pendurado): as forças verticais são o peso m_2 g para baixo e a tração T para cima. Tomando positivo para baixo (mesma convenção usada anteriormente):
m_2 g - T = m_2 a.
Explanação: a diferença entre peso e tração dá a força líquida que acelera m_2.

Passo 4

Eliminação de T e obtenção da fórmula para a: somamos as duas equações para cancelar T:
(T - m_1 g \sin 30^\circ) + (m_2 g - T) = m_1 a + m_2 a.
Os T se cancelam, ficando
m_2 g - m_1 g \sin 30^\circ = (m_1 + m_2) a.
Isolando a:
a = \frac{m_2 g - m_1 g \sin 30^\circ}{m_1 + m_2} = g\frac{m_2 - m_1 \sin 30^\circ}{m_1 + m_2}.
Explicação: esta expressão mostra que a aceleração é proporcional à diferença entre o peso efetivo de m_2 e a componente do peso de m_1 ao longo do plano, e é dividida pela massa total que precisa ser acelerada.

Passo 5

Substituição dos valores numéricos para calcular a. Primeiro calcule \sin 30^\circ:
\sin 30^\circ = 0,5.
Agora o numerador:
m_2 - m_1 \sin 30^\circ = 30 - 50\cdot 0,5 = 30 - 25 = 5.
Multiplicando por g:
g( m_2 - m_1 \sin 30^\circ ) = 9,8 \cdot 5 = 49.
Denominador:
m_1 + m_2 = 50 + 30 = 80.
Portanto
a = \frac{49}{80} = 0,6125\\ \mathrm{m/s^2}.
Interpretação: como a>0 pelo nosso sinal, isso confirma que m_2 desce e m_1 sobe o plano com aceleração de 0,6125\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 6

Cálculo da tração T. Podemos usar qualquer uma das equações iniciais; uso a de m_2:
m_2 g - T = m_2 a \quad\Rightarrow\quad T = m_2 g - m_2 a = m_2(g - a).
Substituindo números:
T = 30\cdot(9,8 - 0,6125) = 30\cdot 9,1875 = 275,625\\ \mathrm{N}.
Verificação rápida usando a equação de m_1:
T = m_1 g \sin 30^\circ + m_1 a = 50\cdot 9,8\cdot 0,5 + 50\cdot 0,6125 = 245 + 30,625 = 275,625\\ \mathrm{N},
o que confirma consistência.

Resposta

a=0,6125\\ \mathrm{m/s^2}
T=275,625\\ \mathrm{N}

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