Uma mola presa a uma massa de m tem uma constante de amortecimento 14 Ns / m e uma força de 6 N é necessária para manter a mola esticada 0,5 m além de seu comprimento natural. A mola é esticada 5 m além de seu comprimento natural e então é solta com velocidade 0 . Determine:
A posição da massa em qualquer momento t , se m=2 kg.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema massa-mola com amortecimento linear: temos massa m = 2 kg presa a uma mola com constante de amortecimento c = 14 Ns/m. Sabe-se que é necessária uma força de 6 N para esticar 0,5 m em regime estático, depois essa mola é esticada 5 m e solta com velocidade zero. Vamos usar a equação diferencial do movimento amortecido para encontrar x(t).

Passo 2

A constante elástica da mola k vem de F = kx. Assim, fazendo k = 6,N0,5, m = 12,N/m.

Passo 3

A equação do movimento amortecido é m x'' + c x' + k x = 0. Substituindo m=2, c=14 e k=12 temos
2x'' + 14x' + 12x = 0
Dividindo por 2 para simplificar:
x'' + 7x' + 6x = 0

Passo 4

A equação característica associada é
r^2 + 7r + 6 = 0
Suas raízes são r1 = -1 e r2 = -6, reais e distintas. Logo, a solução geral é
x(t) = C1 e^-t + C2 e^-6t

Passo 5

Aplicamos as condições iniciais: x(0)=5 C1 + C2 = 5. Como a velocidade inicial é zero, x'(t) = -C1 e^-t -6C2 e^-6t implica em x'(0)=0 e então -C1 -6C2 = 0, ou seja, C1 = -6C2. Resolvendo o sistema, obtemos C2 = -1 e C1 = 6.

Resposta

x(t) = 6e^-t - e^-6t

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