Considere os números complexos:
z1=4-5 i, z2=-3+2 i, z3=2 e^i pi / 6
Encontre a forma polar de z1.

Passo 1

O enunciado pede para expressar o número complexo z1=4-5i na forma polar, ou seja, achar seu módulo r e seu argumento theta. Vamos precisar usar as definições de módulo e argumento de um número complexo.

Passo 2

Para calcular o módulo usamos r=|z1|=raizRe(z1)^2+Im(z1)^2. Aqui Re(z1)=4 e Im(z1)=-5, então:
r=raiz4^2+(-5)^2=raiz16+25=raiz41

Passo 3

O argumento theta satisfaz tan(theta)=Im(z1)/Re(z1)=(-5)/4. Como Re(z1)>0 e Im(z1)<0, estamos no quarto quadrante, e o valor principal é:
theta=arctanl(-5/4r)=-arctanl(5/4r)
(up to a escolha de ramo, podemos usar -arctan(5/4) que fica entre -pi/2,0).

Passo 4

Finalmente escrevemos a forma polar usando coseno e seno ou a forma exponencial:
z1=raiz41l(cos(-arctan(5/4))+isin(-arctan(5/4))r)
ou equivalentemente
z1=raiz41,e^-iarctan(5/4)

Resposta

z1=raiz41l(cos(-arctan(5/4))+isin(-arctan(5/4))r)=raiz41,e^-iarctan(5/4).

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