Q 1 (2.0 ptos) A ciclóide é a curva plana descrita por um ponto sobre uma circunferência quando esta gira ao longo de uma reta. Suponha que a circunferência tenha raio a e o eixo Ox seja a reta fixa sobre a qual gira a circunferência. Considere o ponto na origem quando o centro da circunferência está em ( ). Obtenha uma função vetorial que represente a curva parametrizada ciclóide.
Passo 1
O enunciado pede a parametrização vetorial da ciclóide gerada por um ponto numa circunferência de raio que rola sem deslizar sobre o eixo , com começando na origem quando o centro da circunferência está em . Vamos usar o parâmetro como o ângulo (em radianos) de rotação da roda e combinar a translação do centro com a rotação do ponto.
Passo 2
Como não há deslizamento, o comprimento de arco percorrido na rotação de ângulo é igual ao deslocamento horizontal do centro. Assim, o centro da circunferência em função de está em
Passo 3
No instante inicial , o ponto está em e o centro em , então o vetor posição de relativo ao centro é
À medida que a roda gira de forma que se traduz para a direita, esse vetor relativo roda de forma “clockwise” (sentido horário) de um ângulo . A matriz de rotação correspondente é
Passo 4
Aplicando R(-t) ao vetor (0,-a) obtemos o deslocamento de P em relação ao centro:
R(-t),(0,-a) = l(-asin t,,-acos tr)
Passo 5
Somando a posição do centro C(t) ao vetor relativo rotacionado, temos a parametrização vetorial da ciclóide: