Q 1 (2.0 ptos) A ciclóide é a curva plana descrita por um ponto P sobre uma circunferência quando esta gira ao longo de uma reta. Suponha que a circunferência tenha raio a e o eixo Ox seja a reta fixa sobre a qual gira a circunferência. Considere o ponto P na origem quando o centro da circunferência está em ( 0, a ). Obtenha uma função vetorial que represente a curva parametrizada ciclóide.

Passo 1

O enunciado pede a parametrização vetorial da ciclóide gerada por um ponto P numa circunferência de raio a que rola sem deslizar sobre o eixo Ox, com P começando na origem quando o centro da circunferência está em (0,a). Vamos usar o parâmetro t como o ângulo (em radianos) de rotação da roda e combinar a translação do centro com a rotação do ponto.

Passo 2

Como não há deslizamento, o comprimento de arco percorrido na rotação de ângulo t é igual ao deslocamento horizontal do centro. Assim, o centro C da circunferência em função de t está em
C(t) = l(a,t,;ar)

Passo 3

No instante inicial t=0, o ponto P está em (0,0) e o centro em (0,a), então o vetor posição de P relativo ao centro é
l(0,,-ar)
À medida que a roda gira de forma que se traduz para a direita, esse vetor relativo roda de forma “clockwise” (sentido horário) de um ângulo t. A matriz de rotação correspondente é
R(-t) = cos t & sin t -sin t & cos t

Passo 4

Aplicando R(-t) ao vetor (0,-a) obtemos o deslocamento de P em relação ao centro:
R(-t),(0,-a) = l(-asin t,,-acos tr)

Passo 5

Somando a posição do centro C(t) ao vetor relativo rotacionado, temos a parametrização vetorial da ciclóide:
r(t) = C(t) + R(-t),(0,-a) = l(a,t - asin t,;a - acos tr)

Resposta

r(t)=l(a,(t-sin t),;a,(1-cos t)r)

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