Uma mola tem massa de \frac{1}{5} \mathrm{~kg} com constante de amortecimento igual a \frac{6}{5} e a sua constante de mola é k=2. A mola é liberada a partir do repouso em um ponto 0,5 \mathrm{~m} absaixo da sua poeição de equilibrio. Qual é a equagāo do movimento se a mola sofre a ação de uma força externa igual a F(t)=5 \cos 4 t ?

Passo 1

O enunciado descreve um sistema massa-mola-amortecedor com massa m=\tfrac{1}{5}\,\mathrm{kg}, coeficiente de amortecimento c=\tfrac{6}{5} e constante da mola k=2. Há uma força externa F(t)=5\cos4t. A mola parte do repouso em x(0)=0{,}5 m abaixo da posição de equilíbrio (vamos tomar x>0 no sentido abaixo) e x'(0)=0. Para resolver, usaremos o modelo
m\,x''+c\,x'+k\,x=F(t)
e aplicaremos métodos de equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e forçamento.

Passo 2

Dividindo a equação toda por m=\tfrac{1}{5}, obtemos
x''+\frac{c}{m}\,x'+\frac{k}{m}\,x=\frac{F(t)}{m}.
Como \tfrac{c}{m}=\tfrac{6/5}{1/5}=6, \tfrac{k}{m}=\tfrac{2}{1/5}=10 e \tfrac{F(t)}{m}=\tfrac{5\cos4t}{1/5}=25\cos4t, a EDO fica
x''+6\,x'+10\,x=25\cos4t.

Passo 3

Primeiro, encontramos a solução complementar resolvendo a equação homogênea
r^2+6r+10=0.
As raízes são
r=-3\pm i1.
Logo
x_c(t)=e^{-3t}\big(C_1\cos t +C_2\sin t\big).

Passo 4

Agora, procuramos uma solução particular do tipo
x_p(t)=A\cos4t+B\sin4t.
Derivando e substituindo em x''+6x'+10x=25\cos4t gera o sistema
(-16A-24B)=25,
(24A-6B)=0.
Da segunda equação vem B=4A. Substituindo na primeira,
-16A-24(4A)=-16A-96A=-102A=25 \quad\Longrightarrow\quad A=-\frac{25}{102}, \quad B=4A=-\frac{100}{102}=-\frac{50}{51}.
Portanto
x_p(t)=-\frac{25}{102}\cos4t-\frac{50}{51}\sin4t.

Passo 5

A solução geral é
x(t)=x_c(t)+x_p(t) =e^{-3t}\big(C_1\cos t +C_2\sin t\big) -\frac{25}{102}\cos4t-\frac{50}{51}\sin4t.
Impondo as condições iniciais x(0)=0{,}5 e x'(0)=0:
  1. Em t=0:
x(0)=C_1-\frac{25}{102}=0{,}5 \quad\Longrightarrow\quad C_1=0{,}5+\frac{25}{102}=\frac{38}{51}.
  1. Derivando x(t) e avaliando em t=0, usa-se
x'(t)=e^{-3t}\bigl[-3(C_1\cos t+C_2\sin t)+( -C_1\sin t+C_2\cos t)\bigr] +\frac{100}{102}\sin4t-\frac{200}{51}\cos4t.
Em t=0
x'(0)=-3C_1+C_2-\frac{200}{51}=0 \quad\Longrightarrow\quad C_2=3C_1+\frac{200}{51} =3\frac{38}{51}+\frac{200}{51} =\frac{314}{51}.

Passo 6

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral, obtemos a equação do movimento:
x(t) =e^{-3t}\Bigl(\frac{38}{51}\cos t+\frac{314}{51}\sin t\Bigr) -\frac{25}{102}\cos4t -\frac{50}{51}\sin4t.

Resposta

\boxed{ x(t) =e^{-3t}\!\Bigl(\tfrac{38}{51}\cos t+\tfrac{314}{51}\sin t\Bigr) -\tfrac{25}{102}\cos4t -\tfrac{50}{51}\sin4t }

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