Usando transformada de Laplace, determine a corrente i(t) \mathrm{em} um circuito RLC de malha simples no qual L=0,1 h, R=2 \Omega, C=0,1 \mathrm{f}, i(0)=0 \mathrm{e} e a tensio aplicada é
E(t)= \begin{cases}120, & 0 \leq t<1 \\\\ 0, & t \geq 1\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede a corrente i(t)\) num circuito RLC série com \(L=0{,}1\) H, \(R=2\)\,\(\Omega\), \(C=0{,}1\) F, condição inicial \(i(0)=0\) e tensão de entrada \[E(t)= \begin{cases} 120, & 0\le t<1,\\\\ 0, & t\ge1. \end{cases}
Vamos usar a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial que descreve o circuito e depois inverter para obter (i(t)].

Passo 2

A equação diferencial para o circuito série é
L\,\frac{di}{dt}+R\,i+\frac{1}{C}\int_{0}^{t}i(\tau)\,d\tau=E(t).
Aplicando a transformada de Laplace e usando i(0)=0 e V_C(0)=0, obtemos
L\bigl[sI(s)-i(0)\bigr]+R\,I(s)+\frac{1}{C}\,\frac{I(s)}{s}=E(s).
Como i(0)=0, isto dá
I(s)\Bigl(Ls+R+\frac{1}{Cs}\Bigr)=E(s).

Passo 3

A transformada de Laplace de E(t) (pulso de amplitude 120 e duração 1) é
E(s)=120\;\frac{1-e^{-s}}{s}.

Passo 4

Substituindo L=0{,}1, R=2, C=0{,}1 e E(s) em I(s):
I(s) =\frac{E(s)}{Ls+R+\tfrac{1}{Cs}} =\frac{120\,(1-e^{-s})/s}{0{,}1\,s+2+\tfrac{1}{0{,}1\,s}} =\frac{120\,(1-e^{-s})}{0{,}1(s^2+20s+100)}.
Como s^2+20s+100=(s+10)^2, temos
I(s) =\frac{120}{0{,}1}\,\frac{1-e^{-s}}{(s+10)^2} =1200\,\frac{1-e^{-s}}{(s+10)^2} =1200\Bigl[\frac{1}{(s+10)^2}-\frac{e^{-s}}{(s+10)^2}\Bigr].

Passo 5

Usamos as transformadas inversas padrão:
\mathcal{L}^{-1}\bigl\{\tfrac{1}{(s+10)^2}\bigr\}=t\,e^{-10t},\quad \mathcal{L}^{-1}\bigl\{\tfrac{e^{-s}}{(s+10)^2}\bigr\}=(t-1)e^{-10(t-1)}u(t-1).
Então
i(t) =1200\,t\,e^{-10t} -1200\,(t-1)\,e^{-10(t-1)}\,u(t-1).

Resposta

Para 0\le t<1:
i(t)=1200\,t\,e^{-10t}.
Para t\ge1:
i(t)=1200\,t\,e^{-10t}-1200\,(t-1)\,e^{-10(t-1)}.

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