Seja a(x) uma função tal que a(\pi / 2)=1 e a^{\prime}(\pi / 2)=0. A derivada da função f(x)=e^{a(x) \sqrt{1+\cos x}} no ponto x=\pi / 2 é
Escolha uma opção:
a. 0
b. 1 / 2
c. e / 2
d. -1 / 2
e. -e / 2

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função
f(x)=e^{\,a(x)\sqrt{1+\cos x}}
e queremos f'(\pi/2). O que vamos usar:
  1. Regra da cadeia para derivar e^{g(x)}.
  2. Regra do produto para derivar g(x)=a(x)\sqrt{1+\cos x}.
  3. Derivada de \sqrt{1+\cos x} via cadeia.

Passo 2

Defina
g(x)=a(x)\sqrt{1+\cos x}.
Então, pela regra da cadeia,
f'(x)=e^{g(x)}\cdot g'(x)
e em particular
f\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) =e^{\,g(\pi/2)} =e^{\,a(\pi/2)\sqrt{1+\cos(\pi/2)}} =e^{\,1\cdot1} =e.

Passo 3

Agora calcule g'(x) usando produto e cadeia:
g'(x) =a'(x)\sqrt{1+\cos x} +a(x)\,\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{1+\cos x}\bigr).
Para a segunda parte, seja u=1+\cos x. Então
\frac{d}{dx}\sqrt{u} =\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot u' =\frac{1}{2\sqrt{1+\cos x}}\cdot(-\sin x).

Passo 4

Avalie em x=\pi/2. Sabemos \cos(\pi/2)=0, \sin(\pi/2)=1, a(\pi/2)=1 e a'(\pi/2)=0. Assim,
g'(\tfrac{\pi}{2}) =0\cdot1 +1\cdot\frac{1}{2\cdot1}\,(-1) =-\tfrac12.
Logo
f'(\tfrac{\pi}{2}) =f(\tfrac{\pi}{2})\cdot g'(\tfrac{\pi}{2}) =e\cdot\bigl(-\tfrac12\bigr) =-\tfrac{e}{2}.

Resposta

e. -\tfrac{e}{2}

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