Resolva a seguinte equação difereocia| combinando os métodos de Coeficientes a Determinar e Variaçãos dos parâmetros.
3 y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+30 y=15 \operatorname{sen} x+e^{x} \operatorname{tg} 3 x
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
3y''-6y'+30y=15\operatorname{sen} x + e^{x}\tan3x
usando coeficientes a determinar para o termo 15\operatorname{sen} x e variação dos parâmetros para o termo e^{x}\tan3x.
Passo 2
Primeiro, dividimos tudo por 3 para colocar na forma padrão
y''-2y'+10y = 5\operatorname{sen} x + \tfrac{1}{3}e^{x}\tan3x.
A equação homogênea associada é
y''-2y'+10y=0
com equação característica
r^2-2r+10=0\;\Longrightarrow\;r=1\pm3i.
Logo a solução geral homogênea é
y_h = e^{x}\bigl(C_1\cos3x + C_2\sin3x\bigr).
Passo 3
Buscamos y_{p1} para o termo 5\operatorname{sen} x usando coeficientes a determinar. Como 5\operatorname{sen} x não coincide com raízes puramente imaginárias, tentamos
y_{p1} = A\cos x + B\operatorname{sen} x.
Passo 4
Calculamos as derivadas e substituímos em
y''-2y'+10y = 5\operatorname{sen} x.
Temos
y_{p1}' = -A\operatorname{sen} x + B\cos x,\quad y_{p1}'' = -A\cos x - B\operatorname{sen} x,
então
(-A\cos x - B\operatorname{sen} x)-2(-A\operatorname{sen} x + B\cos x)+10(A\cos x + B\operatorname{sen} x) =(9A-2B)\cos x + (2A+9B)\operatorname{sen} x.
Igualando a 5\operatorname{sen} x dá o sistema
\begin{cases} 9A-2B=0,\\\\ 2A+9B=5, \end{cases}
cuja solução é
A=\tfrac{2}{17},\quad B=\tfrac{9}{17}.
Logo
y_{p1} = \tfrac{2}{17}\cos x + \tfrac{9}{17}\operatorname{sen} x.
Passo 5
Agora buscamos y_{p2} para o termo f_2(x)=\tfrac{1}{3}e^{x}\tan3x por variação dos parâmetros. Usamos as duas soluções fundamentais de y_h: