Resolva a seguinte equação difereocia| combinando os métodos de Coeficientes a Determinar e Variaçãos dos parâmetros.
3 y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+30 y=15 \operatorname{sen} x+e^{x} \operatorname{tg} 3 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
3y''-6y'+30y=15\operatorname{sen} x + e^{x}\tan3x
usando coeficientes a determinar para o termo 15\operatorname{sen} x e variação dos parâmetros para o termo e^{x}\tan3x.

Passo 2

Primeiro, dividimos tudo por 3 para colocar na forma padrão
y''-2y'+10y = 5\operatorname{sen} x + \tfrac{1}{3}e^{x}\tan3x.
A equação homogênea associada é
y''-2y'+10y=0
com equação característica
r^2-2r+10=0\;\Longrightarrow\;r=1\pm3i.
Logo a solução geral homogênea é
y_h = e^{x}\bigl(C_1\cos3x + C_2\sin3x\bigr).

Passo 3

Buscamos y_{p1} para o termo 5\operatorname{sen} x usando coeficientes a determinar. Como 5\operatorname{sen} x não coincide com raízes puramente imaginárias, tentamos
y_{p1} = A\cos x + B\operatorname{sen} x.

Passo 4

Calculamos as derivadas e substituímos em
y''-2y'+10y = 5\operatorname{sen} x.
Temos
y_{p1}' = -A\operatorname{sen} x + B\cos x,\quad y_{p1}'' = -A\cos x - B\operatorname{sen} x,
então
(-A\cos x - B\operatorname{sen} x)-2(-A\operatorname{sen} x + B\cos x)+10(A\cos x + B\operatorname{sen} x) =(9A-2B)\cos x + (2A+9B)\operatorname{sen} x.
Igualando a 5\operatorname{sen} x dá o sistema
\begin{cases} 9A-2B=0,\\\\ 2A+9B=5, \end{cases}
cuja solução é
A=\tfrac{2}{17},\quad B=\tfrac{9}{17}.
Logo
y_{p1} = \tfrac{2}{17}\cos x + \tfrac{9}{17}\operatorname{sen} x.

Passo 5

Agora buscamos y_{p2} para o termo f_2(x)=\tfrac{1}{3}e^{x}\tan3x por variação dos parâmetros. Usamos as duas soluções fundamentais de y_h:
g_1(x)=e^{x}\cos3x,\quad g_2(x)=e^{x}\sin3x.
O Wronskiano é
W = \begin{vmatrix} g_1 & g_2\\\ g_1' & g_2' \end{vmatrix} =3e^{2x}.

Passo 6

As fórmulas de variação dos parâmetros dão
u_1' = -\frac{g_2\,f_2}{W},\qquad u_2' = \frac{g_1\,f_2}{W}.
Substituindo
u_1' = -\frac{e^{x}\sin3x\,( \tfrac{1}{3}e^{x}\tan3x)}{3e^{2x}} = -\tfrac{1}{9}\,\frac{\sin^2 3x}{\cos3x}, \quad u_2' = \tfrac{1}{9}\sin3x.

Passo 7

Integramos
u_1 = -\tfrac{1}{9}\int\frac{\sin^2 3x}{\cos3x}\,dx = -\tfrac{1}{9}\int\Bigl(\sec3x - \cos3x\Bigr)\,dx = -\tfrac{1}{27}\ln\bigl|\sec3x+\tan3x\bigr| + \tfrac{1}{27}\sen3x,
u_2 = \tfrac{1}{9}\int\sen3x\,dx = -\tfrac{1}{27}\cos3x.

Passo 8

O particular y_{p2} fica
y_{p2} = u_1\,g_1 + u_2\,g_2 = e^{x}\Bigl[ \bigl(-\tfrac{1}{27}\ln|\sec3x+\tan3x|+\tfrac{1}{27}\sen3x\bigr)\cos3x - \tfrac{1}{27}\cos3x\,\sen3x \Bigr]
e as parcelas com \sen3x\cos3x cancelam, restando
y_{p2} = -\tfrac{1}{27}\,e^{x}\cos3x\;\ln\bigl|\sec3x+\tan3x\bigr|.

Passo 9

A solução geral da equação não homogênea é
y = y_h + y_{p1} + y_{p2} = e^{x}\bigl(C_1\cos3x + C_2\sin3x\bigr) + \tfrac{2}{17}\cos x + \tfrac{9}{17}\operatorname{sen} x -\tfrac{1}{27}\,e^{x}\cos3x\;\ln\bigl|\sec3x+\tan3x\bigr|.

Resposta

\boxed{ y(x)=e^{x}\bigl(C_{1}\cos3x + C_{2}\sin3x\bigr) +\tfrac{2}{17}\cos x+\tfrac{9}{17}\operatorname{sen} x -\tfrac{1}{27}\,e^{x}\cos3x\;\ln\!\bigl|\sec3x+\tan3x\bigr| }.

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