Mostre que a corrente estacionária no circuito R-L-C em série, onde L=12 h, R=20 Omega, C= 0,001 f e E(t)=100 sen 30 t V, é dada por ip(t)=0,123 sen(30 t-0,83).

Passo 1

O enunciado pede para determinar a corrente estacionária num circuito série R–L–C alimentado por uma fonte E(t)=100 sen (30 t) V, sabendo que L=0,5 H, R=20 Ω, C=0,001 F. Vamos usar a análise fasorial (regime permanente senoidal).

Passo 2

Em regime permanente senoidal com pulsação omega=30 rad/s representamos a tensão e a corrente por fasores:
– Fasor da tensão: E=100ang<=0°.
– A impedância do resistor é ZR=R=20 Ω.
– A reatância indutiva é XL=omega L=30times0,5=15 Ω, logo ZL=j15 Ω.
– A reatância capacitiva é XC=1/(omega C)=1/(30times0,001)=33,333 Ω, logo ZC=-j33,333 Ω.

Passo 3

A impedância total do circuito série é
Z = ZR + ZL + ZC = 20 + j15 - j33,333 = 20 - j18,333
O módulo e a fase de Z valem:
|Z| = raiz20^2 + (-18,333)^2 = raiz400 + 336,111 approx 27,13 Ω,
varphi = arg(Z) = arctanl(-18,33320r) approx -0,743 rad

Passo 4

O fasor da corrente é dado por
I = EZ = 100ang<=0°27,13ang<=(-0,743) = 10027,13ang<=(+0,743) approx 3,686ang<=0,743 A

Passo 5

Voltando ao domínio do tempo, a corrente estacionária é
ip(t) = 3,686,sinl(30t + 0,743r) A
Se quisermos expressar no formato sin(30t -phi), note que
30t + 0,743 = 30t - (-0,743),
e portanto
ip(t) = 3,686,sinl(30t - (-0,743)r) A

Resposta

A corrente estacionária é
ip(t)=3,686,sinl(30t+0,743r) A

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