Uma mola tem massa de 1 kg com constante de amortecimento igual a 12 e a sua constante de mola é
. A mola é liberada a partir do repouso em um ponto
abaixo da sua posição de equilíbrio. Determine o segundo instante em que a mola passa pela posição de equilíbrio indo para cima.
Passo 1
O enunciado descreve um sistema massa-mola com amortecimento linear, de massa
,kg, coeficiente de amortecimento
e constante elástica
. A mola é liberada do repouso em
,m abaixo da posição de equilíbrio. Vamos modelar por uma EDO linear de 2º ordem e encontrar o instante em que
com velocidade para cima pela segunda vez.
Passo 2
O modelo da oscilação amortecida é dado por
Com
,
e
temos coeficiente de amortecimento
e frequência natural
. Como
, o sistema é subamortecido e a frequência amortecida é
A solução geral é
Passo 3
Aplicando as condições iniciais:
Em , temos
Em
e como
segue
Portanto
Passo 4
Para achar os zeros com indicação de direção, é útil passar para forma de fase:
Definindo
Definindo
temos
Os instantes em que
ocorrem quando
isto é
com
.
Passo 5
Para verificar que é passagem para cima, checamos o sinal de
em cada zero. O primeiro cruzamento para cima ocorre em
, ou seja,
O segundo cruzamento para cima corresponde a
, pois em
a velocidade é para baixo. Assim
Passo 6
Portanto, o segundo instante em que a mola passa pela posição de equilíbrio indo para cima é aproximadamente 1,06,s.