Uma mola tem massa de 1 kg com constante de amortecimento igual a 12 e a sua constante de mola é k=100. A mola é liberada a partir do repouso em um ponto 0,85 m abaixo da sua posição de equilíbrio. Determine o segundo instante em que a mola passa pela posição de equilíbrio indo para cima.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema massa-mola com amortecimento linear, de massa m=1,kg, coeficiente de amortecimento c=12 e constante elástica k=100. A mola é liberada do repouso em x(0)=0,85,m abaixo da posição de equilíbrio. Vamos modelar por uma EDO linear de 2º ordem e encontrar o instante em que x(t)=0 com velocidade para cima pela segunda vez.

Passo 2

O modelo da oscilação amortecida é dado por
m,x''(t)+c,x'(t)+k,x(t)=0
Com m=1, c=12 e k=100 temos coeficiente de amortecimento alpha=tfracc2m=6 e frequência natural omega0=raiztfrackm=10. Como alpha^2, o sistema é subamortecido e a frequência amortecida é
omegad=raizomega0^2-alpha^2=raiz100-36=8
A solução geral é
x(t)=e^-6tl(Acos(8t)+Bsin(8t)r)

Passo 3

Aplicando as condições iniciais:
Em t=0, temos
x(0)=A=0,85,
x'(t)=e^-6tl((-6A+8B)cos(8t)+(-6B-8A)sin(8t)r),
e como x'(0)=0 segue
-6A+8B=0
B=6cdot0,858=0,6375
Portanto
x(t)=e^-6tl(0,85cos(8t)+0,6375sin(8t)r)

Passo 4

Para achar os zeros com indicação de direção, é útil passar para forma de fase:
Definindo
R=raizA^2+B^2=raiz0,85^2+0,6375^2,
de
temos
x(t)=R,e^-6tcosl(8t-de
Os instantes em que x(t)=0 ocorrem quando
cos(8t-de
isto é
8t-de
tm=tfracpi2+de
com m=0,1,2,dots.

Passo 5

Para verificar que é passagem para cima, checamos o sinal de x'(t) em cada zero. O primeiro cruzamento para cima ocorre em m=0, ou seja,
t0=tfracpi2+0,64358approx0,2768 s
O segundo cruzamento para cima corresponde a m=2, pois em m=1 a velocidade é para baixo. Assim
t2=tfracpi2+0,6435+2pi8approx1,0622 s

Passo 6

Portanto, o segundo instante em que a mola passa pela posição de equilíbrio indo para cima é aproximadamente 1,06,s.

Resposta

tapprox1,06 s

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