Mola vertical em um campo gravitacional uniforme. Consideremos uma mola sem massa, de constante elástica k, situada em um campo gravitacional uniforme. Suponhamos uma massa m suspensa pela mola. Mostre que, se a massa cair de x=0 à posição de equilíbrio estático, x=m g / k, a perda de energia potencial gravitacional transforma-se metade em energia potencial elástica e metade em energia cinética.
f) Considere, finalmente, o sistema em inicialmente e na posição de equilíbrio estático. Calcular separadamente a variação da energia potencial gravitacional e da energia potencial elástica quando a massa m se mover para cima até o deslocamento +A e também quando ela se move para baixo até o deslocamento -A. Mostre que a variação total de energia potencial é a mesma em cada caso, isto é, 12 k A^2. Em vista dos resultados © e (f), pode-se simplesmente ignorar o campo gravitacional uniforme na análise, simplesmente deslocando a posição de referência de x=0 para x0=x+m g / k =0. A Nova curva de energia potencial [U(x0)=12 k A^2+ constante ] tem a mesma forma parabólica que na ausência de um campo gravitacional [U(x)=12 k x^2].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício de energia potencial em um sistema massa-mola vertical dentro de um campo gravitacional uniforme. A gente vai precisar entender como a energia potencial gravitacional e a energia potencial elástica se comportam quando a massa $ m $ se move para cima ou para baixo a partir da posição de equilíbrio estático.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a energia potencial gravitacional. Ela é dada por:
Ug = m g h
onde:
- $ m $ é a massa,
- $ g $ é a aceleração da gravidade,
- $ h $ é a altura.
E a energia potencial elástica da mola é:
m
onde:
- $ k $ é a constante elástica da mola,
- $ x $ é o deslocamento da mola em relação à posição de equilíbrio.

Passo 3

No exercício, a massa está inicialmente na posição de equilíbrio estático, onde o deslocamento da mola é:
x0 = m gk
Isso significa que a mola está esticada nessa quantidade devido ao peso da massa.

Passo 4

Agora, vamos considerar que a massa se move para cima até um deslocamento $ +A $ e para baixo até $ -A $ a partir da posição de equilíbrio $ x_0 $. Queremos calcular a variação da energia potencial em cada caso.

Passo 5

Movendo para cima ( +A):
  • Energia potencial gravitacional:
    Quando a massa sobe $ A $, a altura aumenta em $ A $:
    A
  • Energia potencial elástica:
    O deslocamento total da mola em relação ao ponto de referência inicial é $ x = x_0 + A $. Então,
    A
    Mas sabemos que na posição de equilíbrio estático $ x_0 = \frac{m g}{k} $, então:
    De
    Expandindo:
    x = x0 + A
    Simplificando:
    Ue = 12 k (x0 + A)^2
    A variação na energia potencial elástica é apenas a parte que depende de $ A $:
    x0 = m gk

Passo 6

Movendo para baixo ( -A):
  • Energia potencial gravitacional:
    Quando a massa desce $ A $, a altura diminui em $ A $:
    A
  • Energia potencial elástica:
    O deslocamento total da mola em relação ao ponto de referência inicial é $ x = x_0 - A $. Então,
    A
    Substituindo $ x_0 = \frac{m g}{k} $:
    De
    Expandindo:
    x = x0 - A
    Simplificando:
    Ue = 12 k (x0 - A)^2
    A variação na energia potencial elástica é:
    x0 = m gk

Passo 7

Variação total da energia potencial:
Para ambos os casos, vamos somar a variação da energia potencial gravitacional e a variação da energia potencial elástica.
  • Movendo para cima:
    De
  • Movendo para baixo:
    De

Resposta

A variação total da energia potencial é $ \frac{1}{2} k A^{2} $ em ambos os casos.

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