Mola vertical em um campo gravitacional uniforme. Consideremos uma mola sem massa, de constante elástica k, situada em um campo gravitacional uniforme. Suponhamos uma massa m suspensa pela mola. Mostre que, se a massa cair de
à posição de equilíbrio estático,
, a perda de energia potencial gravitacional transforma-se metade em energia potencial elástica e metade em energia cinética.
f) Considere, finalmente, o sistema em inicialmente e na posição de equilíbrio estático. Calcular separadamente a variação da energia potencial gravitacional e da energia potencial elástica quando a massa
se mover para cima até o deslocamento
e também quando ela se move para baixo até o deslocamento
. Mostre que a variação total de energia potencial é a mesma em cada caso, isto é,
. Em vista dos resultados © e (f), pode-se simplesmente ignorar o campo gravitacional uniforme na análise, simplesmente deslocando a posição de referência de
para
. A Nova curva de energia potencial
constante
tem a mesma forma parabólica que na ausência de um campo gravitacional
.
f) Considere, finalmente, o sistema em inicialmente e na posição de equilíbrio estático. Calcular separadamente a variação da energia potencial gravitacional e da energia potencial elástica quando a massa
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício de energia potencial em um sistema massa-mola vertical dentro de um campo gravitacional uniforme. A gente vai precisar entender como a energia potencial gravitacional e a energia potencial elástica se comportam quando a massa $ m $ se move para cima ou para baixo a partir da posição de equilíbrio estático.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a energia potencial gravitacional. Ela é dada por:
onde:
- $ m $ é a massa,
- $ g $ é a aceleração da gravidade,
- $ h $ é a altura.
E a energia potencial elástica da mola é:
onde:
- $ k $ é a constante elástica da mola,
- $ x $ é o deslocamento da mola em relação à posição de equilíbrio.
Passo 3
No exercício, a massa está inicialmente na posição de equilíbrio estático, onde o deslocamento da mola é:
Isso significa que a mola está esticada nessa quantidade devido ao peso da massa.
Passo 4
Agora, vamos considerar que a massa se move para cima até um deslocamento $ +A $ e para baixo até $ -A $ a partir da posição de equilíbrio $ x_0 $. Queremos calcular a variação da energia potencial em cada caso.
Passo 5
Movendo para cima (
):
-
Energia potencial gravitacional:
Quando a massa sobe $ A $, a altura aumenta em $ A $: -
Energia potencial elástica:
O deslocamento total da mola em relação ao ponto de referência inicial é $ x = x_0 + A $. Então,
Mas sabemos que na posição de equilíbrio estático $ x_0 = \frac{m g}{k} $, então:
Expandindo:
Simplificando:
A variação na energia potencial elástica é apenas a parte que depende de $ A $:
Passo 6
Movendo para baixo (
):
-
Energia potencial gravitacional:
Quando a massa desce $ A $, a altura diminui em $ A $: -
Energia potencial elástica:
O deslocamento total da mola em relação ao ponto de referência inicial é $ x = x_0 - A $. Então,
Substituindo $ x_0 = \frac{m g}{k} $:
Expandindo:
Simplificando:
A variação na energia potencial elástica é:
Passo 7
Variação total da energia potencial:
Para ambos os casos, vamos somar a variação da energia potencial gravitacional e a variação da energia potencial elástica.
-
Movendo para cima:
-
Movendo para baixo:
Resposta
A variação total da energia potencial é $ \frac{1}{2} k A^{2} $ em ambos os casos.