Uma corpo de massa 1 kg é presa por uma mola e oscila em um movimento unidimensional de acordo com a equação
em que
é medido em metro e
em segundo. Determine: A energia cinética do corpo no instante inicial.
k) A energia potencial do corpo no instante inicial.
k) A energia potencial do corpo no instante inicial.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um corpo de 1 kg preso a uma mola que oscila de um jeito específico, definido pela equação $ x(t) = \sin\left(\pi t - \frac{\pi}{2}\right) $. Aqui, $ x $ é a posição em metros e $ t $ é o tempo em segundos. Nosso objetivo é descobrir:
a) A energia cinética do corpo no instante inicial (quando $ t = 0 $).
k) A energia potencial do corpo no instante inicial.
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre o movimento harmônico simples (MHS), que é o tipo de oscilação que a mola e o corpo estão fazendo. Vamos usar fórmulas de energia cinética e potencial relacionadas a esse tipo de movimento.
Passo 2
Vamos começar calculando a energia cinética no instante inicial. A energia cinética ($ K $) de um objeto em movimento é dada por:
onde $ m $ é a massa e $ v $ é a velocidade.
Primeiro, precisamos encontrar a velocidade do corpo no instante $ t = 0 $. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
Dada a função $ x(t) = \sin\left(\pi t - \frac{\pi}{2}\right) $, derivando em relação a $ t $:
Agora, substituímos $ t = 0 $:
Sabemos que $ \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0 $, então:
Passo 3
Agora que temos a velocidade no instante inicial, podemos calcular a energia cinética:
Passo 4
Vamos agora calcular a energia potencial no instante inicial. A energia potencial ($ U $) armazenada na mola é dada por:
onde $ k $ é a constante da mola e $ x $ é a posição.
Primeiro, precisamos encontrar a constante da mola ($ k
\omega $) está relacionada à constante da mola e à massa pela fórmula:
Dada a equação do movimento $ x(t) = \sin\left(\pi t - \frac{\pi}{2}\right) $, podemos identificar que $ \omega = \pi $ rad/s.
Então, rearranjando a fórmula para $ k $:
Passo 5
Agora, vamos calcular a posição $ x(0) $:
Substituindo na fórmula da energia potencial:
Resposta
A energia cinética do corpo no instante inicial é $ 0,J $ e a energia potencial é $ \frac{\pi^2}{2},J $ (aproximadamente $ 4,93,J $).