Mola vertical em um campo gravitacional uniforme. Consideremos uma mola sem massa, de constante elástica k, situada em um campo gravitacional uniforme. Suponhamos uma massa m suspensa pela mola. Considere agora a energia do sistema, 12 m v^2+12 k x^2+m g(h-x)=C, em que C é uma constante. Mostre que, diferenciando em relação ao tempo obtém-se a equação de movimento da parte (b).
e) Mostre que, se a massa cair de x=0 à posição de equilíbrio estático, x=m g / k, a perda de energia potencial gravitacional transforma-se metade em energia potencial elástica e metade em energia cinética.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! Estamos falando de uma mola vertical num campo gravitacional uniforme. Temos uma mola sem massa com constante elástica $ k $ e uma massa $ m $ pendurada nela. A energia total do sistema é dada por:
k
Aqui, $ C $ é uma constante. O problema pede para mostrar que, quando a massa cai de $ x = 0 $ até a posição de equilíbrio estático $ x = \frac{m g}{k} $, a perda de energia potencial gravitacional se transforma em metade de energia potencial elástica e metade em energia cinética. Vamos precisar entender de energia potencial, energia cinética e como elas se relacionam nesse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a posição inicial e a posição final:
  • Posição inicial: $ x = 0 $
  • Posição final: $ x = \frac{m g}{k} $ (posição de equilíbrio estático)
A posição de equilíbrio é onde a força da mola equilibra a força gravitacional. Agora, vamos calcular a mudança na energia potencial gravitacional quando a massa se move de $ x = 0 $ para $ x = \frac{m g}{k} $.

Passo 3

A energia potencial gravitacional é dada por $ U_g = m g h Ug = m g h áçã \Delta U_g $) será:
De
Substituindo $ x_{final} = \frac{m g}{k} $:
De
Isso significa que a energia potencial gravitacional diminuiu em $ \frac{m^{2} g^{2}}{k} $.

Passo 4

Agora, vamos ver como essa energia perdida se transforma nas outras formas de energia no sistema. De acordo com a lei de conservação da energia, a energia total permanece constante, então a energia perdida na energia potencial gravitacional deve se transformar em energia potencial elástica ($ U_e Ue é K $).
Queremos mostrar que essa energia se divide igualmente entre $ U_e $ e $ K $, ou seja:
K
Vamos calcular $ U_e $ na posição de equilíbrio.

Passo 5

A energia potencial elástica é dada por:
Ue = 12 k x^2
Substituindo $ x = \frac{m g}{k} $:
x = m gk
Então,
Ue = 12 k ( m gk )^2 = 12 k ( m^2 g^2k^2 ) = 12 cdot m^2 g^2k

Passo 6

Agora, observamos que a perda total de energia potencial gravitacional foi de $ \frac{m^{2} g^{2}}{k} $, e a energia potencial elástica adquirida é $ \frac{m^{2} g^{2}}{2 k} $. Isso significa que a energia potencial elástica é metade da energia perdida:
m^2 g^2k
O restante da energia perdida deve ser a energia cinética $ K $. Portanto,
m^2 g^22 k
Assim,
Ue = 12 De

Resposta

Quando a massa $ m $ cai de $ x = 0 $ até a posição de equilíbrio estático $ x = \frac{m g}{k} $, a perda de energia potencial gravitacional $ \frac{m^{2} g^{2}}{k} $ se divide igualmente entre energia potencial elástica e energia cinética, transformando-se em metade para cada uma:
m

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