Mola vertical em um campo gravitacional uniforme. Consideremos uma mola sem massa, de constante elástica k, situada em um campo gravitacional uniforme. Suponhamos uma massa m suspensa pela mola. Considere agora a energia do sistema,
, em que C é uma constante. Mostre que, diferenciando em relação ao tempo obtém-se a equação de movimento da parte (b).
e) Mostre que, se a massa cair de
à posição de equilíbrio estático,
, a perda de energia potencial gravitacional transforma-se metade em energia potencial elástica e metade em energia cinética.
e) Mostre que, se a massa cair de
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! Estamos falando de uma mola vertical num campo gravitacional uniforme. Temos uma mola sem massa com constante elástica $ k $ e uma massa $ m $ pendurada nela. A energia total do sistema é dada por:
Aqui, $ C $ é uma constante. O problema pede para mostrar que, quando a massa cai de $ x = 0 $ até a posição de equilíbrio estático $ x = \frac{m g}{k} $, a perda de energia potencial gravitacional se transforma em metade de energia potencial elástica e metade em energia cinética. Vamos precisar entender de energia potencial, energia cinética e como elas se relacionam nesse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a posição inicial e a posição final:
- Posição inicial: $ x = 0 $
- Posição final: $ x = \frac{m g}{k} $ (posição de equilíbrio estático)
A posição de equilíbrio é onde a força da mola equilibra a força gravitacional. Agora, vamos calcular a mudança na energia potencial gravitacional quando a massa se move de $ x = 0 $ para $ x = \frac{m g}{k} $.
Passo 3
A energia potencial gravitacional é dada por $ U_g = m g h
\Delta U_g $) será:
Substituindo $ x_{final} = \frac{m g}{k} $:
Isso significa que a energia potencial gravitacional diminuiu em $ \frac{m^{2} g^{2}}{k} $.
Passo 4
Agora, vamos ver como essa energia perdida se transforma nas outras formas de energia no sistema. De acordo com a lei de conservação da energia, a energia total permanece constante, então a energia perdida na energia potencial gravitacional deve se transformar em energia potencial elástica ($ U_e
K $).
Queremos mostrar que essa energia se divide igualmente entre $ U_e $ e $ K $, ou seja:
Vamos calcular $ U_e $ na posição de equilíbrio.
Passo 5
A energia potencial elástica é dada por:
Substituindo $ x = \frac{m g}{k} $:
Então,
Passo 6
Agora, observamos que a perda total de energia potencial gravitacional foi de $ \frac{m^{2} g^{2}}{k} $, e a energia potencial elástica adquirida é $ \frac{m^{2} g^{2}}{2 k} $. Isso significa que a energia potencial elástica é metade da energia perdida:
O restante da energia perdida deve ser a energia cinética $ K $. Portanto,
Assim,
Resposta
Quando a massa $ m $ cai de $ x = 0 $ até a posição de equilíbrio estático $ x = \frac{m g}{k} $, a perda de energia potencial gravitacional $ \frac{m^{2} g^{2}}{k} $ se divide igualmente entre energia potencial elástica e energia cinética, transformando-se em metade para cada uma: