Parametrize o conjunto obtido pela intersecção das superfícies cx^2+y^2+z^2=9 x^2+y^2+(z-4)^2=9 por uma curva e calcule o seu comprimento.

Passo 1

O enunciado pede a curva de interseção de duas esferas de raio 3, uma centrada em (0,0,0) e outra em (0,0,4), e depois o comprimento dessa curva. O conteúdo é geometria analítica: achar a equação do plano comum e o raio do círculo de interseção, depois parametrizar e usar a fórmula de comprimento de curva.

Passo 2

Para identificar o plano em que a interseção vive, subtraímos as duas equações:
x^2+y^2+z^2;-;l(x^2+y^2+(z-4)^2r)=0
Desenvolvendo,
z^2-l(z^2-8z+16r)=0 ;Longrightarrow; 8z-16=0 ;Longrightarrow; z=2

Passo 3

Substituindo z=2 em qualquer das esferas, por exemplo em x^2+y^2+z^2=9, obtemos
x^2+y^2+2^2=9 ;Longrightarrow; x^2+y^2=5
Isso mostra que a curva de interseção é o círculo de raio raiz5 no plano z=2.

Passo 4

Uma parametrização natural desse círculo é
r(t)=l(raiz5cos t,;raiz5sin t,;2r), 0<= t<= 2pi

Passo 5

O comprimento da curva vem de
r'(t)=l(-raiz5sin t,;raiz5cos t,;0r),
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l|r'(t)r| =raiz(!-raiz5sin t)^2+(raiz5cos t)^2 =raiz5
Integramos de 0 a 2pi:
L=integral0^2pi!l|r'(t)r|,dt =integral0^2pi!raiz5,dt =2piraiz5

Resposta

A parametrização da curva é
r(t)=l(raiz5cos t,raiz5sin t,2r), 0<= t<= 2pi.
O comprimento dessa curva é
L=2piraiz5.

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