Nos moldes do exercício anterior, encontre uma expansão em série de potências para as funções abaixo. Indique o raio de convergência.
(f(x)=e{-x{2}}\

Passo 1

O exercício pede para encontrar a expansão em série de potências (Maclaurin) de f(x)=e{-x2} e indicar o raio de convergência. Vamos usar o desenvolvimento de Maclaurin da função exponencial.

Passo 2

A teoria diz que para qualquer u temos o desenvolvimento
e^u=sumn=0^inftyu^nn!
Aqui vamos tomar u=-x^2.

Passo 3

Substituindo u=-x^2 no desenvolvimento de e^u, obtemos
e^-x^2=sumn=0^infty(-x^2)^nn!=sumn=0^infty(-1)^nn!,x^2n

Passo 4

Para encontrar o raio de convergência R, aplicamos o teste da razão aos coeficientes a_n=\frac{(-1)^n}{n!}. Calculamos
L=limntoinfty|an+1an|=limntoinfty1/(n+1)!1/n!=limntoinfty1n+1=0
Como L=0<1, a série converge para todo x, logo R=\infty.

Resposta

A expansão em série de potências é e^-x^2=sumn=0^infty(-1)^nn!,x^2n,e o raio de convergência é R=\infty.

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