Nos moldes do exercício anterior, encontre uma expansão em série de potências para as funções abaixo. Indique o raio de convergência.
(f(x)=e{-x{2}}\
Passo 1
O exercício pede para encontrar a expansão em série de potências (Maclaurin) de f(x)=e{-x2} e indicar o raio de convergência. Vamos usar o desenvolvimento de Maclaurin da função exponencial.
Passo 2
A teoria diz que para qualquer u temos o desenvolvimento
Aqui vamos tomar u=-x^2.
Passo 3
Substituindo u=-x^2 no desenvolvimento de e^u, obtemos
Passo 4
Para encontrar o raio de convergência R, aplicamos o teste da razão aos coeficientes a_n=\frac{(-1)^n}{n!}. Calculamos
Como L=0<1, a série converge para todo x, logo R=\infty.
Resposta
A expansão em série de potências é e^-x^2=sumn=0^infty(-1)^nn!,x^2n,e o raio de convergência é R=\infty.