Uma molécula é carregada com uma carga positiva de 2 mu C e se move com uma velocidade v=100 m / s j, quando penetra em uma região com um campo magnético B=0,02 mT i-0,02 mT j+0,02 mT k. Qual deve ser o campo magnético aplicado para que a força sobre a molécula seja igual a FM=-2 mu N k ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma molécula carregada positivamente que está se movendo em uma certa velocidade e entra numa região com um campo magnético específico. A gente precisa descobrir qual campo magnético adicional precisamos aplicar para que a força magnética resultante sobre a molécula seja igual a FM = -2 mu N k.
Conteúdo envolvido: Força magnética sobre cargas em movimento e a regra da mão direita para o produto vetorial.
O que vamos precisar:
  • A fórmula da força magnética: F = Q v times B
  • Como somar campos magnéticos
  • Resolver equações vetoriais

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as informações que temos:
  • Carga da molécula: $ Q = 2 \mu C = 2 \times 10^{-6} C $
  • Velocidade: $ \vec{v} = 100 , \mathrm{m/s} \hat{j} $
  • Campo magnético inicial: $ \vec{B_{inicial}} = 0,02 , mT \hat{i} - 0,02 , mT \hat{j} + 0,02 , mT \hat{k} = 2 \times 10^{-5} , T \hat{i} - 2 \times 10^{-5} , T \hat{j} + 2 \times 10^{-5} , T \hat{k} $
  • Força magnética desejada: $ \vec{F_M} = -2 \mu N \hat{k} = -2 \times 10^{-6} N \hat{k} $

Passo 3

Sabemos que a força magnética é dada por:
F = Q v times Btotal
Queremos que F = FM, então:
Q v times (Binicial + Baplicado) = FM
Nosso objetivo é encontrar Baplicado.

Passo 4

Vamos primeiro calcular o produto vetorial v times Binicial.
v = 100 , m/s j
Binicial = 2 times 10^-5 , T i - 2 times 10^-5 , T j + 2 times 10^-5 , T k
Calculando v times Binicial:
v times Binicial = i & j & k 0 & 100 & 0 2 times 10^-5 & -2 times 10^-5 & 2 times 10^-5
= i(100 times 2 times 10^-5 - 0 times (-2 times 10^-5)) - j(0 times 2 times 10^-5 - 0 times 2 times 10^-5) + k(0 times (-2 times 10^-5) - 100 times 2 times 10^-5)
= i(2 times 10^-3) - j(0) + k(-2 times 10^-3)
= 2 times 10^-3 i - 2 times 10^-3 k , N

Passo 5

Agora, aplicando a fórmula da força magnética com o campo total:
Q (v times (Binicial + Baplicado)) = FM
Podemos reescrever isso como:
Q (v times Binicial) + Q (v times Baplicado) = FM
Sabemos que $ Q (\vec{v} \times \vec{B_{inicial}}) = 2 \times 10^{-6} C \times (2 \times 10^{-3} \hat{i} - 2 \times 10^{-3} \hat{k}) = 4 \times 10^{-9} \hat{i} - 4 \times 10^{-9} \hat{k} $ N.

Passo 6

Substituindo na equação:
4 times 10^-9 i - 4 times 10^-9 k + Q (v times Baplicado) = -2 times 10^-6 k
Isolando $ Q (\vec{v} \times \vec{B_{aplicado}}) $:
Q (v times Baplicado)
Q (v times Baplicado) = -2 times 10^-6 k - 4 times 10^-9 i + 4 times 10^-9 k

Passo 7

Agora, dividindo ambos os lados por $ Q = 2 \times 10^{-6} C $:
Q = 2 times 10^-6 C
v times Baplicado = -2.000004 times 10^-6 k - 4 times 10^-9 i2 times 10^-6 C

Passo 8

Precisamos encontrar $ \vec{B_{aplicado}} $ tal que:
Baplicado
Sabendo que $ \vec{v} = 100 , \mathrm{m/s} \hat{j} $, vamos chamar $ \vec{B_{aplicado}} = B_x \hat{i} + B_y \hat{j} + B_z \hat{k} $.
Calculando o produto vetorial:
v times Baplicado = -1.000002 k - 2 times 10^-3 i
v = 100 , m/s j
Baplicado = Bx i + By j + Bz k

Passo 9

Igualando aos componentes encontrados:
100 Bz i - 100 Bx k = -2 times 10^-3 i -1.000002 k
Isso nos dá duas equações:
  1. $ 100 B_z = -2 \times 10^{-3} $ 100 Bz = -2 times 10^-3
  2. $ -100 B_x = -1.000002 $ Rightarrow Bz = -2 times 10^-5 , T
E não há componente na direção $ \hat{j} $, então $ B_y $ pode ser qualquer valor, mas para simplificar, assumimos que $ B_y = 0 $.

Passo 10

Portanto, o campo magnético aplicado necessário é:
Baplicado = 1.000002 times 10^-2 , T i + 0 j -2 times 10^-5 , T k

Resposta

O campo magnético aplicado necessário é:
Baplicado = 1.000002 times 10^-2 , T , i - 2 times 10^-5 , T , k

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