Uma molécula é carregada com uma carga positiva de
e se move com uma velocidade
, quando penetra em uma região com um campo magnético
. Qual deve ser o campo magnético aplicado para que a força sobre a molécula seja igual a
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma molécula carregada positivamente que está se movendo em uma certa velocidade e entra numa região com um campo magnético específico. A gente precisa descobrir qual campo magnético adicional precisamos aplicar para que a força magnética resultante sobre a molécula seja igual a
.
Conteúdo envolvido: Força magnética sobre cargas em movimento e a regra da mão direita para o produto vetorial.
O que vamos precisar:
- A fórmula da força magnética:
- Como somar campos magnéticos
- Resolver equações vetoriais
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todas as informações que temos:
- Carga da molécula: $ Q = 2 \mu C = 2 \times 10^{-6} C $
- Velocidade: $ \vec{v} = 100 , \mathrm{m/s} \hat{j} $
- Campo magnético inicial: $ \vec{B_{inicial}} = 0,02 , mT \hat{i} - 0,02 , mT \hat{j} + 0,02 , mT \hat{k} = 2 \times 10^{-5} , T \hat{i} - 2 \times 10^{-5} , T \hat{j} + 2 \times 10^{-5} , T \hat{k} $
- Força magnética desejada: $ \vec{F_M} = -2 \mu N \hat{k} = -2 \times 10^{-6} N \hat{k} $
Passo 3
Sabemos que a força magnética é dada por:
Queremos que
, então:
Nosso objetivo é encontrar
.
Passo 4
Vamos primeiro calcular o produto vetorial
.
Calculando
:
Passo 5
Agora, aplicando a fórmula da força magnética com o campo total:
Podemos reescrever isso como:
Sabemos que $ Q (\vec{v} \times \vec{B_{inicial}}) = 2 \times 10^{-6} C \times (2 \times 10^{-3} \hat{i} - 2 \times 10^{-3} \hat{k}) = 4 \times 10^{-9} \hat{i} - 4 \times 10^{-9} \hat{k} $ N.
Passo 6
Substituindo na equação:
Isolando $ Q (\vec{v} \times \vec{B_{aplicado}}) $:
Passo 7
Agora, dividindo ambos os lados por $ Q = 2 \times 10^{-6} C $:
Passo 8
Precisamos encontrar $ \vec{B_{aplicado}} $ tal que:
Sabendo que $ \vec{v} = 100 , \mathrm{m/s} \hat{j} $, vamos chamar $ \vec{B_{aplicado}} = B_x \hat{i} + B_y \hat{j} + B_z \hat{k} $.
Calculando o produto vetorial:
Passo 9
Igualando aos componentes encontrados:
Isso nos dá duas equações:
- $ 100 B_z = -2 \times 10^{-3} $
100 Bz = -2 times 10^-3 - $ -100 B_x = -1.000002 $
Rightarrow Bz = -2 times 10^-5 , T
E não há componente na direção $ \hat{j} $, então $ B_y $ pode ser qualquer valor, mas para simplificar, assumimos que $ B_y = 0 $.
Passo 10
Portanto, o campo magnético aplicado necessário é:
Resposta
O campo magnético aplicado necessário é: