Uma molécula de hidrogênio (H2) pode ser considerada um sistema de duas massas ligadas por uma mola. O centro da mola, ou seja, o centro de massa do sistema pode ser considerado fixo e assim a molécula consiste de dois osciladores vibrando em direções opostas. A constante da mola é 1,13 times 10^3 N / m e a massa de cada H é 1,67 times 10^-27 kg. Suponha que a energia de vibração da molécula é 1,3 times 10^-19 J. Encontre a amplitude da oscilação e a velocidade máxima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Neste exercício, a gente está tratando de uma molécula de hidrogênio ( H2) como se fosse duas massas conectadas por uma mola. O objetivo é encontrar a amplitude da oscilação e a velocidade máxima dessa molécula. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de oscilações harmônicas simples, como a energia de vibração e a relação entre a constante da mola, a massa e a frequência angular.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a amplitude da oscilação. Sabemos que a energia de vibração E em um oscilador harmônico é dada por:
E = 12 k A^2
Onde:
  • E = 1,3 times 10^-19 J (energia de vibração)
  • k = 1,13 times 10^3 N/m (constante da mola)
  • A é a amplitude que queremos encontrar
Vamos isolar A:
A^2 = 2Ek
Substituindo os valores:
A^2 = 2 times 1,3 times 10^-191,13 times 10^3 = 2,6 times 10^-191,13 times 10^3 approx 2,30 times 10^-22
Agora, tiramos a raiz quadrada para encontrar A:
A = raiz2,30 times 10^-22 approx 4,80 times 10^-11 m

Passo 3

Agora, vamos encontrar a velocidade máxima ( vmax). Para isso, precisamos primeiro determinar a frequência angular ( omega) do sistema. A frequência angular em um sistema massa-mola é dada por:
omega = raizkmef
Aqui, mef é a massa efetiva. Como temos duas massas iguais m oscilando em direções opostas, a massa efetiva é:
mef = m2 = 1,67 times 10^-272 = 8,35 times 10^-28 kg
Agora, substituímos na fórmula da frequência angular:
omega = raiz1,13 times 10^38,35 times 10^-28 = raiz1,35 times 10^30 approx 1,16 times 10^15 rad/s

Passo 4

Com a frequência angular omega e a amplitude A conhecidas, podemos encontrar a velocidade máxima usando a relação:
vmax = omega A
Substituindo os valores:
vmax = 1,16 times 10^15 times 4,80 times 10^-11 approx 5,57 times 10^4 m/s

Resposta

A amplitude da oscilação é aproximadamente 4,80 times 10^-11 metros e a velocidade máxima da molécula de H2 é cerca de 5,57 times 10^4 metros por segundo.

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