Uma rede de difração tem
ranhuras uniformemente espaçadas em uma região de largura
. A rede é iluminada perpendicularmente pela luz amarela de uma lâmpada de vapor de sódio. Essa luz contém duas linhas de emissão muito próximas (conhecidas como dubleto do sódio) de comprimentos de onda 589,00 nm e 589,59 nm.
Qual é o menor número de ranhuras que uma rede pode ter sem que se torne impossível distinguir as linhas de primeira ordem do dubleto do sódio?
Qual é o menor número de ranhuras que uma rede pode ter sem que se torne impossível distinguir as linhas de primeira ordem do dubleto do sódio?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma rede de difração com um certo número de ranhuras espalhadas numa largura específica. A rede está sendo iluminada por luz amarela de uma lâmpada de sódio que tem duas linhas de emissão muito próximas, com comprimentos de onda de 589,00 nm e 589,59 nm. A questão quer saber qual é o menor número de ranhuras que a rede pode ter para ainda conseguir distinguir essas duas linhas na primeira ordem de difração.
Vamos precisar entender o que é uma rede de difração, como ela separa as diferentes cores (ou comprimentos de onda) da luz e qual é a relação entre o número de ranhuras, a largura da rede e a capacidade de separar essas linhas de emissão próximas.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que uma rede de difração funciona separando a luz em seus diferentes comprimentos de onda devido à interferência das ondas de luz que passam pelas várias ranhuras. Quanto mais ranhuras tiver a rede, maior é a capacidade de separar comprimentos de onda muito próximos, ou seja, melhor a resolução da rede.
A fórmula que relaciona o poder de resolução $ R $ de uma rede de difração com o número de ranhuras $ N $ e a ordem $ n $ da difração é:
Onde:
- $ \lambda $ é o comprimento de onda,
- $ \Delta \lambda $ é a diferença mínima de comprimento de onda que a rede consegue distinguir,
- $ n $ é a ordem da difração,
- $ N $ é o número de ranhuras.
Passo 3
No nosso caso, queremos distinguir duas linhas na primeira ordem de difração, então $ n = 1 $. A diferença entre os comprimentos de onda é $ \Delta \lambda = 589,59 , nm - 589,00 , nm = 0,59 , nm $.
Agora, rearranjando a fórmula para encontrar o número de ranhuras $ N $:
Passo 4
Portanto, precisamos de pelo menos 1000 ranhuras para que a rede consiga distinguir as duas linhas de emissão do sódio na primeira ordem de difração.
Resposta
O menor número de ranhuras que a rede pode ter é aproximadamente 1000 ranhuras.