1. (a) Se 2 moles de hidrogênio ( M=2 \mathrm{~g} / \mathrm{mol} ) estão à pressão atmosférica e na temperatura ambiente \left(20^{\circ} \mathrm{C}\right), qual é a energia cinética média de translação de uma molécula de hidrogênio no gás?(b) Qual a v_{\mathrm{mq}} das moléculas de hidrogênio?(c) Qual é a energia cinética total de translação de todas as moléculas nesta massa de hidrogênio? (d) Qual seria a velocidade escalar de um corpo sólido, de mesma massa, com esta energia cinética?

Passo 1

O enunciado dá 2 moles de gás hidrogênio ( \mathrm{H_2}) à pressão atmosférica e temperatura ambiente ( 20^\circ\mathrm{C}=293\\ \mathrm{K}), pede
(a) a energia cinética média de translação por molécula,
(b) a velocidade quadrática média v_{\mathrm{mq}},
(c) a energia cinética total de todas as moléculas,
(d) a velocidade que um corpo sólido da mesma massa teria com essa energia.
Vamos usar a teoria cinética dos gases ideais:
  • Equipartição de energia: energia média por grau de liberdade \tfrac12k_B T.
  • Para moléculas diatômicas em translação há 3 graus de liberdade, logo \langle E\rangle=(3/2)k_B T.
  • Velocidade quadrática média \displaystyle v_{\mathrm{mq}}=\sqrt{\frac{3k_B T}{m}}.
  • Energia total \displaystyle E_{\mathrm{tot}}=N\langle E\rangle=(3/2)nRT.
  • Para achar a velocidade de um corpo sólido de massa M_{\mathrm{tot}} com energia E_{\mathrm{tot}}:
    \tfrac12M_{\mathrm{tot}}v^2=E_{\mathrm{tot}}.

Passo 2

Energia cinética média de translação por molécula dada por equipartição:
\langle E\rangle = \frac32\,k_B\,T
onde k_B é a constante de Boltzmann e T a temperatura em kelvin.

Passo 3

Cálculo numérico de \langle E\rangle.
Use k_B=1{,}38\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K} e T=293\\ \mathrm{K}:
\langle E\rangle = \frac32 \times 1,38\times10^{-23}\times293 \approx 6,07\times10^{-21}\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Velocidade quadrática média das moléculas:
v_{\mathrm{mq}} = \sqrt{\frac{3\,k_B\,T}{m}}
onde m é a massa de uma molécula de \mathrm{H_2}:
m = \frac{M_{\rm mol}}{N_A} = \frac{0,002\\ \mathrm{kg/mol}}{6,02\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}} \approx 3,32\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.

Passo 5

Cálculo numérico de v_{\mathrm{mq}}:
v_{\mathrm{mq}} = \sqrt{\frac{3\times1,38\times10^{-23}\times293}{3,32\times10^{-27}}} \approx 1,91\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Energia cinética total de translação de todas as moléculas:
E_{\mathrm{tot}} = N\,\langle E\rangle = n\,N_A\,\langle E\rangle = \frac32\,n\,R\,T
com n=2 mol e R=8,314\\ \mathrm{J/(mol\,K)}.

Passo 7

Cálculo numérico de E_{\mathrm{tot}}:
E_{\mathrm{tot}} = \frac32 \times2\times8,314\times293 \approx 7,31\times10^{3}\\ \mathrm{J}.

Passo 8

Velocidade de um corpo sólido de mesma massa M_{\mathrm{tot}} com energia E_{\mathrm{tot}}:
\tfrac12\,M_{\mathrm{tot}}\,v^2 = E_{\mathrm{tot}}, \quad M_{\mathrm{tot}} = n\,M_{\rm mol} = 2\times0{,}002 = 0{,}004\\ \mathrm{kg}.
Logo
v = \sqrt{\frac{2\,E_{\mathrm{tot}}}{M_{\mathrm{tot}}}}.

Passo 9

Cálculo numérico de v:
v = \sqrt{\frac{2\times7,31\times10^3}{0,004}} \approx 1,91\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

(a) \langle E\rangle \approx 6{,}07\times10^{-21}\\ \mathrm{J}
(b) v_{\mathrm{mq}}\approx 1{,}91\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}
(c) E_{\mathrm{tot}}\approx 7{,}31\times10^{3}\\ \mathrm{J}
(d) v\approx 1{,}91\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}

Exercícios relacionados