1. Na superfície do Sol a temperatura é cerca de 6.000 K e todas as substâncias estão gasosas. A partir dos dados provenientes do espectro da luz, sabe-se que a maior parte dos elementos está presente no Sol. (a) Qual é a energia cinética média de translação de um átomo na superfície do Sol? Exprimir a resposta em joules e em elétrons-volt. (b) Qual é o domínio das velocidades médias quadráticas na superfície do Sol, sabendo que os átomos presentes vão do hidrogênio ( M=1 \mathrm{~g} / \mathrm{mol} ) até o urânio ( M=238 \mathrm{~g} / \mathrm{mol} )?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a camada visível do Sol, cuja temperatura é T=6000\\ \mathrm{K}:
1. (a) A energia cinética média de translação de um átomo.
2. (b) O domínio das velocidades quadráticas médias ( v_{\mathrm{rms}}) para átomos com massa molar de 1\\ \mathrm{g/mol} (H) até 238\\ \mathrm{g/mol} (U).
O conteúdo usado será: o teorema de equipartição de energia para gases ideais e a definição de velocidade quadrática média.

Passo 2

Segundo o teorema de equipartição, cada grau de liberdade translacional de uma partícula contribui com \tfrac{1}{2}k_{B}T à energia média, e há três graus de liberdade. Logo, a energia cinética média translacional por átomo é
\overline{E} = \frac{3}{2}\,k_{B}\,T
em que k_{B} é a constante de Boltzmann.

Passo 3

Substituindo k_{B}=1,38\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K} e T=6000\\ \mathrm{K}, vem
\overline{E} = \frac{3}{2}\times1,38\times10^{-23}\times6000 =1,242\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Para converter essa energia em elétron– volt, usamos 1\\ \mathrm{eV}=1,60\times10^{-19}\\ \mathrm{J}. Assim,
\overline{E} = \frac{1,242\times10^{-19}\\ \mathrm{J}}{1,60\times10^{-19}\\ \mathrm{J/eV}} \approx 0,78\\ \mathrm{eV}.

Passo 5

A velocidade quadrática média é dada por
v_{\mathrm{rms}} =\sqrt{\frac{3\,k_{B}\,T}{m}},
em que m é a massa de um átomo. Se a massa molar é M (em \mathrm{kg/mol}), então
m = \frac{M}{N_{A}},
sendo N_{A}=6,02\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.

Passo 6

Calculamos v_{\mathrm{rms}} para o hidrogênio ( M=1\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/mol}) e para o urânio ( M=238\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/mol}):
m_{\mathrm{H}}=\frac{1,0\times10^{-3}}{6,02\times10^{23}}=1,66\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}, \quad v_{\mathrm{rms,H}} =\sqrt{\frac{3\cdot1,38\times10^{-23}\cdot6000}{1,66\times10^{-27}}} \approx1,2\times10^{4}\\ \mathrm{m/s},
m_{\mathrm{U}}=\frac{238\times10^{-3}}{6,02\times10^{23}}=3,95\times10^{-25}\\ \mathrm{kg}, \quad v_{\mathrm{rms,U}} =\sqrt{\frac{3\cdot1,38\times10^{-23}\cdot6000}{3,95\times10^{-25}}} \approx7,9\times10^{2}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Portanto, o domínio de v_{\mathrm{rms}} para átomos de massa molar entre 1 e 238\\ \mathrm{g/mol} é aproximadamente
7,9\times10^{2}\\ \mathrm{m/s} \;\le\; v_{\mathrm{rms}} \;\le\; 1,2\times10^{4}\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

(a) \overline{E}=1,24\times10^{-19}\\ \mathrm{J}\approx0,78\\ \mathrm{eV}.
(b) 7,9\times10^{2}\\ \mathrm{m/s}\le v_{\mathrm{rms}}\le1,2\times10^{4}\\ \mathrm{m/s}.

Exercícios relacionados