Três vetores são dados por
\begin{aligned} \vec{a} & =3,0 \hat{i}+3,0 \hat{j}-2,0 \hat{k} \\\ \vec{b} & =-1,0 \hat{i}-4,0 \hat{j}+2,0 \hat{k} \\\ \vec{c} & =2,0 \hat{i}+2,0 \hat{j}+1,0 \hat{k} \end{aligned}
Determine,
\vec{a} \times(\vec{b}+\vec{c})

Passo 1

O enunciado dá três vetores (peguei os valores do enunciado):
\vec{a} = 3{,}0\,\hat{i}+3{,}0\,\hat{j}-2{,}0\,\hat{k}, \qquad \vec{b} = -1{,}0\,\hat{i}-4{,}0\,\hat{j}+2{,}0\,\hat{k}, \qquad \vec{c} = 2{,}0\,\hat{i}+2{,}0\,\hat{j}+1{,}0\,\hat{k}.
A pergunta é calcular
\vec{a}\times(\vec{b}+\vec{c}).
Vou mostrar passo a passo: primeiro somar \vec{b} e \vec{c}, depois calcular o produto vetorial usando a fórmula componente a componente. Também dou uma verificação usando a propriedade distributiva do produto vetorial para você entender bem.

Passo 2

Observação rápida: os números com casa decimal zero ( 3{,}0, 2{,}0 etc.) são iguais aos inteiros 3, 2 etc., então podemos trabalhar com os valores inteiros equivalentes para simplificar os cálculos.

Passo 3

Somar \vec{b} e \vec{c} componente a componente. Se
\vec{b}=(b_x,b_y,b_z),\qquad \vec{c}=(c_x,c_y,c_z),
então
\vec{b}+\vec{c}=(b_x+c_x,\; b_y+c_y,\; b_z+c_z).
Aplicando aos valores:
\vec{b}+\vec{c}=(-1+2,\; -4+2,\; 2+1)=(1,\; -2,\; 3).

Passo 4

Explicando o produto vetorial (a “aula rápida”): para dois vetores
\vec{u}=(u_x,u_y,u_z) e \vec{v}=(v_x,v_y,v_z),
o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} é um vetor perpendicular a ambos e é dado componente a componente por
\vec{u}\times\vec{v}=\bigl(u_y v_z - u_z v_y,\; u_z v_x - u_x v_z,\; u_x v_y - u_y v_x\bigr).
Aqui cada termo é uma diferença de produtos de componentes: por exemplo a componente x é u_y v_z - u_z v_y. Essa fórmula é derivada do determinante da matriz com as bases \hat{i},\hat{j},\hat{k} na primeira linha e os componentes dos vetores nas linhas seguintes, mas usar a forma de componentes costuma ser o jeito mais direto na prova.

Passo 5

Agora aplico a fórmula com \vec{a}=(3,3,-2) e \vec{d}=\vec{b}+\vec{c}=(1,-2,3).
Calculo componente x:
(\vec{a}\times\vec{d})_x = a_y d_z - a_z d_y = 3\cdot 3 - (-2)\cdot(-2) = 9 - 4 = 5.
Calculo componente y:
(\vec{a}\times\vec{d})_y = a_z d_x - a_x d_z = (-2)\cdot 1 - 3\cdot 3 = -2 - 9 = -11.
Calculo componente z:
(\vec{a}\times\vec{d})_z = a_x d_y - a_y d_x = 3\cdot(-2) - 3\cdot 1 = -6 - 3 = -9.
Portanto
\vec{a}\times(\vec{b}+\vec{c})=(5,\; -11,\; -9)=5\,\hat{i}-11\,\hat{j}-9\,\hat{k}.

Passo 6

Verificação (útil para aprender a propriedade): o produto vetorial é distributivo, isto é
\vec{a}\times(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\times\vec{b}+\vec{a}\times\vec{c}.
Vou calcular \vec{a}\times\vec{b} e \vec{a}\times\vec{c} separadamente para confirmar.
Para \vec{a}\times\vec{b} com \vec{b}=(-1,-4,2):
\vec{a}\times\vec{b}=(-2,\; -4,\; -9).
(Detalhe rápido: cálculo das componentes foi feito do mesmo jeito que no passo anterior.)
Para \vec{a}\times\vec{c} com \vec{c}=(2,2,1):
\vec{a}\times\vec{c}=(7,\; -7,\; 0).
Somando:
(-2,-4,-9)+(7,-7,0)=(5,-11,-9),
que confere com o resultado do passo anterior. Boa checagem!

Resposta

5\,\hat{i}-11\,\hat{j}-9\,\hat{k}

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