Três vetores são dados por
\begin{aligned} \vec{a} & =3,0 \hat{i}+3,0 \hat{j}-2,0 \hat{k} \\\ \vec{b} & =-1,0 \hat{i}-4,0 \hat{j}+2,0 \hat{k} \\\ \vec{c} & =2,0 \hat{i}+2,0 \hat{j}+1,0 \hat{k} \end{aligned}
Determine,
\vec{a} \cdot(\vec{b}+\vec{c})

Passo 1

O enunciado fornece três vetores (escrevo exatamente os componentes dados):
\vec{a} = 3,0\hat{i} + 3,0\hat{j} - 2,0\hat{k}
\vec{b} = -1,0\hat{i} - 4,0\hat{j} + 2,0\hat{k}
\vec{c} = 2,0\hat{i} + 2,0\hat{j} + 1,0\hat{k}
A pergunta é calcular o produto escalar
\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c}).

Passo 2

O que é produto escalar (dot product) e qual fórmula vou usar?
  • Para dois vetores em componentes \vec{u}=(u_x,u_y,u_z) e \vec{v}=(v_x,v_y,v_z), o produto escalar é
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z.
Aqui u_x é a componente do vetor \vec{u} na direção \hat{i}, u_y na direção \hat{j} e u_z na direção \hat{k}; o mesmo para \vec{v}.
  • Outra propriedade útil (muito prática na prova) é a distributividade:
\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}.
Posso usar diretamente a definição depois de somar \vec{b}+\vec{c} componente a componente, ou usar a propriedade distributiva como checagem.

Passo 3

Calcular primeiro \vec{b}+\vec{c} somando componente a componente:
  • componente \hat{i}: -1,0 + 2,0 = 1,0,
  • componente \hat{j}: -4,0 + 2,0 = -2,0,
  • componente \hat{k}: 2,0 + 1,0 = 3,0.
Logo
\vec{b}+\vec{c}=1,0\hat{i}-2,0\hat{j}+3,0\hat{k}.

Passo 4

Agora aplico a fórmula do produto escalar entre \vec{a} e \vec{b}+\vec{c}. Usando as componentes:
\vec{a}=(3,0,\;3,0,\;-2,0),\qquad \vec{b}+\vec{c}=(1,0,\;-2,0,\;3,0).
Então
\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=3,0\cdot1,0 + 3,0\cdot(-2,0) + (-2,0)\cdot3,0.
Calculo cada termo:
3,0\cdot1,0 = 3,0, \qquad 3,0\cdot(-2,0) = -6,0, \qquad (-2,0)\cdot3,0 = -6,0.
Somando:
3,0 + (-6,0) + (-6,0) = -9,0.

Passo 5

Verificação alternativa usando distributividade (checar se não houve erro aritmético):
  • calcular \vec{a}\cdot\vec{b}:
\vec{a}\cdot\vec{b}=3,0\cdot(-1,0)+3,0\cdot(-4,0)+(-2,0)\cdot2,0 = -3,0-12,0-4,0=-19,0.
  • calcular \vec{a}\cdot\vec{c}:
\vec{a}\cdot\vec{c}=3,0\cdot2,0+3,0\cdot2,0+(-2,0)\cdot1,0=6,0+6,0-2,0=10,0.
  • somando: -19,0 + 10,0 = -9,0, que coincide com o resultado do passo anterior. Boa — está consistente.

Resposta

-9,0

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