Momento angular de um sistema de partículas. Considere um conjunto de N massas pontuais mj, j=1, ldots, N e vetores posição rj em um dado sistema de coordenadas. O momento angular total desse sistema é dado por L=sumj=1^N rj times pj, onde pj denota o momento linear da j-ésima partícula. (a) Verifique, utilizando os resultados de problemas anteriores, que para um conjunto de três partículas, L não é invariante pela translação da origem (esse resultado pode ser generalizado para um número qualquer de partículas?).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem um sistema de L ;=;sumj=1^N rj times pj massas pontuais com posições e momentos lineares , e que o momento angular total é
O que vamos mostrar é que, se a gente muda a origem (faz uma translação ), então para três partículas ( ) esse não fica igual, e depois generalizamos para .
Conteúdo: mecânica clássica (momento angular e translação), produto vetorial e soma de vetores.

Passo 2

Definindo a translação da origem:
rj' ;=; rj + a,
onde é um vetor fixo de translação. Os momentos lineares não mudam, porque a translação de origem não altera velocidades nem massas.

Passo 3

Agora calcula o novo momento angular:
L' ;=;sumj=1^3 rj' times pj ;=;sumj=1^3 ( rj + a)times pj
A gente separa a soma:
L' = sumj=1^3 rjtimes pj ;+;sumj=1^3 atimes pj = L ;+;sumj=1^3 atimes pj

Passo 4

Como sumj=1^3 a times pj = a times sumj=1^3 pj = a times Prm total, é o mesmo para todo L' = L + atimes Prm total , dá para tirar fora da soma no produto vetorial:
sendo . Então
Isso mostra que, a não ser que , o momento angular muda com a translação de origem. Logo, para três partículas não é invariante em geral.

Passo 5

O raciocínio não depende de ser só três partículas: para L' = sumj=1^N ( rj+ a)times pj = L + atimes sumj=1^N pj = L + atimes Prm total, a gente teria
portanto a mesma conclusão vale para qualquer número de partículas.

Resposta

Para três partículas, ao transladar a origem por a gente obtém
,
ou seja, não é invariante por translação (a menos que o momento linear total seja zero). Este resultado se generaliza para partículas:
.

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