Momento angular de um sistema de partículas. Considere um conjunto de
massas pontuais
e vetores posição
em um dado sistema de coordenadas. O momento angular total desse sistema é dado por
, onde
denota o momento linear da
-ésima partícula. (a) Verifique, utilizando os resultados de problemas anteriores, que para um conjunto de três partículas, L não é invariante pela translação da origem (esse resultado pode ser generalizado para um número qualquer de partículas?).
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a gente tem um sistema de
massas pontuais com posições
e momentos lineares
, e que o momento angular total é
O que vamos mostrar é que, se a gente muda a origem (faz uma translação
), então para três partículas (
) esse
não fica igual, e depois generalizamos para
.
Conteúdo: mecânica clássica (momento angular e translação), produto vetorial e soma de vetores.
Conteúdo: mecânica clássica (momento angular e translação), produto vetorial e soma de vetores.
Passo 2
Definindo a translação da origem:
onde
é um vetor fixo de translação. Os momentos lineares
não mudam, porque a translação de origem não altera velocidades nem massas.
Passo 3
Agora calcula o novo momento angular:
A gente separa a soma:
Passo 4
Como
é o mesmo para todo
, dá para tirar fora da soma no produto vetorial:
sendo
. Então
Isso mostra que, a não ser que
, o momento angular muda com a translação de origem. Logo, para três partículas
não é invariante em geral.
Passo 5
O raciocínio não depende de ser só três partículas: para
a gente teria
portanto a mesma conclusão vale para qualquer número de partículas.
Resposta
Para três partículas, ao transladar a origem por
a gente obtém
,
ou seja, não é invariante por translação (a menos que o momento linear total seja zero). Este resultado se generaliza para
partículas:
.
ou seja,