R=psumj=1^N qj=sumj=1^N qj rjsumj=1^N qj,
é o vetor posição do chamado centro de carga do sistema, que pode ser definido somente se o sistema não é neutro. (a) Utilizando resultados dos problemas anteriores, mostre que o momento de dipólo de um sistema neutro é independente da origem do sistema de coordenadas (ou seja, invariante pela translação da origem). (b) Mostre a invariância de p em um sistema neutro a partir dos vetores R+e R- dos centros de carga positivas e negativas.

Passo 1

Então, o que a questão pede é o seguinte:
a) Mostrar que, para um sistema de cargas onde a soma total das cargas é zero (ou seja, sistema neutro), o momento de dipolo
p ;=;sumj=1^N qj,rj
não muda se a gente “trocar o zero” do sistema de coordenadas (fizer uma translação da origem).
b) Mostrar o mesmo resultado usando os centros de carga positiva e negativa
R+=sumqj>0qjrjsumqj>0qj, R-=sumqj<0qjrjsumqj<0qj
Conteúdo: eletrostática básica, momento de dipolo e transformações de vetores sob translação.
O que vamos precisar:
  1. Saber que, sob translação de vetor , cada posição vira .
  2. Usar que, no sistema neutro, .

Passo 2

(a) Invariância direta do dipolo na translação
  1. Definimos o momento de dipolo no referencial original:
    p'=sumj=1^N qj,r'j =sumj=1^N qjl(rj+ar) =sumj=1^N qj,rj ;+;asumj=1^N qj
  2. Agora mudamos a origem: todo ponto vira
  3. O novo momento de dipolo é
  4. Mas, como o sistema é neutro, . Então
Pronto: o dipolo não muda de valor ao trocar a origem.

Passo 3

(b) Invariância via centros de carga positiva e negativa
  1. Para um sistema neutro, chamamos Q+=sumqj>0qj, Q-=sumqj<0qj=-Q+
  2. Definimos
    p =sumqj>0qjrj + sumqj<0qjrj =Q+,R+ + Q-,R- =Q+(R+ - R-)
    p' =Q+l(R'+ - R'-r) =Q+l((R+ + a) - (R- + a)r) =Q+(R+ - R-) =p
  3. O momento total de dipolo é
  4. Se agora translamos tudo por , cada centro vira

    Então
Isso mostra de novo que não depende da escolha da origem.

Resposta

O momento de dipolo de um sistema neutro é invariante pela translação da origem. Equivalentemente, expressando via e , chegamos ao mesmo resultado: .

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