é o vetor posição do chamado centro de carga do sistema, que pode ser definido somente se o sistema não é neutro. (a) Utilizando resultados dos problemas anteriores, mostre que o momento de dipólo de um sistema neutro é independente da origem do sistema de coordenadas (ou seja, invariante pela translação da origem). (b) Mostre a invariância de
em um sistema neutro a partir dos vetores
e
dos centros de carga positivas e negativas.
Passo 1
Então, o que a questão pede é o seguinte:
a) Mostrar que, para um sistema de cargas onde a soma total das cargas é zero (ou seja, sistema neutro), o momento de dipolo
a) Mostrar que, para um sistema de cargas onde a soma total das cargas é zero (ou seja, sistema neutro), o momento de dipolo
não muda se a gente “trocar o zero” do sistema de coordenadas (fizer uma translação da origem).
b) Mostrar o mesmo resultado usando os centros de carga positiva e negativa
b) Mostrar o mesmo resultado usando os centros de carga positiva e negativa
Conteúdo: eletrostática básica, momento de dipolo e transformações de vetores sob translação.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Saber que, sob translação de vetor
, cada posição vira . - Usar que, no sistema neutro,
.
Passo 2
(a) Invariância direta do dipolo na translação
- Definimos o momento de dipolo no referencial original:
- Agora mudamos a origem: todo ponto
vira
- O novo momento de dipolo é
- Mas, como o sistema é neutro,
. Então
Pronto: o dipolo não muda de valor ao trocar a origem.
Passo 3
(b) Invariância via centros de carga positiva e negativa
- Para um sistema neutro, chamamos
- Definimos
- O momento total de dipolo é
- Se agora translamos tudo por
, cada centro vira
Então
Isso mostra de novo que
não depende da escolha da origem.
Resposta
O momento de dipolo de um sistema neutro
é invariante pela translação da origem. Equivalentemente, expressando
via
e
, chegamos ao mesmo resultado:
.